Свободная группа

проверено

Определение

Определение 1. Для произвольного множества $S$ рассмотрим множество $S^{-1}=\{s^{-1},s\in S\}$ ¹⁾. Назовем $S\cup S^{-1}$ алфавитом, а выражение вида $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}$ , где $\varepsilon=\pm 1$ , — словом. Слово называется несократимым²⁾, если в нем не встречаются рядом $x_i^{\varepsilon_i}$ и $x_i^{-\varepsilon_i}$ , пустое слово будем обозначать символом $e$ . Рассмотрим множество $F(S)$ , состоящее из пустого слова $e$ и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения:

$ef=fe=f$ для всех $f\in F(S)$ ;
$(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})(y_1^{\delta_1}\dots y_m^{\delta_m})$ равно слову $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}y_1^{\delta_1}\dots y_m^{\delta_m}$ , из которого выбросили все сокращения, то есть выражения вида $z_i^{\alpha_i}z_i^{-\alpha_i}$ .

Определенное таким образом умножение обладает свойством ассоциативности, элемент $e$ является единицей, а каждое несократимое слово $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}$ обладает обратным элементом $(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}$ . Следовательно, $F(S)$ является группой, которая называется свободной группой³⁾, порожденной множеством $S$ .

Пример 1. Группа целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ изоморфна свободной группе, порожденной множеством $S=\{x\}$ . При этом элементу $x$ ставится в соответствие $1$ или $-1$ .