Содержание
Действие группы на множестве
проверено
Описание
Определение 1. Пусть — множество,
— группа. Под действием1)
на
(слева) будем понимать отображение
такое, что выполнены условия:
для всех
и
;
для всех
.
Множество при этом называют
-множеством.
Каждый элемент определяет отображение
по правилу
. Из определения следует, что
, поэтому отображение
определяет гомоморфизм
в группу перестановок множества
.
Предложение 1. Действие задает на множестве
отношение эквивалентности по правилу
, если существует элемент
такой, что
.
Определение 2. Классы эквивалентности отношения эквивалентности из предложения 1 называются орбитами2). Таким образом, орбита, содержащая точку есть подмножество
.
Определение 3. Если все элементы множества эквивалентны3), то действие называется транзитивным4).
Определение 4. Подгруппа называется стабилизатором5) точки
. При этом отображение
индуцирует биекцию
.
Часто рассматривают действие группы на себе. При этом особо выделяют следующие действия:
Пример 1. Действие левыми сдвигами: для всех
;
Пример 2. Действие правыми сдвигами: для всех
;
Пример 3. Действие сопряжениями (внутренними автоморфизмами): для всех
.