Действие группы на множестве

проверено

Описание

Определение 1. Пусть $X$множество, $G$группа. Под действием1) $G$ на $X$ (слева) будем понимать отображение $G\times X\rightarrow X\colon(g,x)\mapsto gx$ такое, что выполнены условия:

  1. $(g_1g_2)x=g_1(g_2x)$ для всех $g_1,g_2\in G$ и $x\in X$;
  2. $ex=x$ для всех $x\in X$.

Множество $X$ при этом называют $G$-множеством.

Каждый элемент $g\in G$ определяет отображение $T_g\colon X\rightarrow X$ по правилу $T_g(x)=gx$. Из определения следует, что $T_{g_1}\circ T_{g_2}=T_{g_1g_2}$, поэтому отображение $g\mapsto T_g$ определяет гомоморфизм $T\colon G\rightarrow S(X)$ в группу перестановок множества $X$.

Предложение 1. Действие $G$ задает на множестве $X$ отношение эквивалентности по правилу

$x_1\sim x_2$, если существует элемент $g\in G$ такой, что $x_2=gx_1$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

  1. Свойство рефлексивности выполнено, так как $x=ex$ для любого $x\in X$;
  2. если $x_1=gx_2$, то $x_2=g^{-1}x_1$ для любых $x_1,x_2\in X$, $g\in G$, откуда следует симметричность;
  3. если $x_1=g_1x_2$ и $x_2=g_2x_3$, то $x_1=g_1(g_2x_3)=(g_1g_2)x_3$ для любых $x_1,x_2,x_3\in X$, $g_1,g_2\in G$, поэтому имеет место транзитивность.

Определение 2. Классы эквивалентности отношения эквивалентности из предложения 1 называются орбитами2). Таким образом, орбита, содержащая точку $x$ есть подмножество $Gx=\{gx\vert g\in G\}\subseteq X$.

Определение 3. Если все элементы множества $X$ эквивалентны3), то действие называется транзитивным4).

Определение 4. Подгруппа $G_x=\textrm{st}~x=\{g\in G\vert gx=x\}$ называется стабилизатором5) точки $x$. При этом отображение $G\rightarrow Gx\colon g\mapsto gx$ индуцирует биекцию $G/G_x\rightarrow Gx$.

Часто рассматривают действие группы $G$ на себе. При этом особо выделяют следующие действия:

Пример 1. Действие левыми сдвигами: $L_gx=gx$ для всех $g,x\in G$;

Пример 2. Действие правыми сдвигами: $R_gx=xg^{-1}$ для всех $g,x\in G$;

Пример 3. Действие сопряжениями (внутренними автоморфизмами): $A_gx=gxg^{-1}$ для всех $g,x\in G$.

Литература

1) action
2) orbit
3) То есть существует только одна орбита.
4) transitive action
5) stabilizer
glossary/group/action.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:59:19 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0