Прямое произведение групп

проверено

Внутреннее прямое произведение

Пусть $G$группа.

Определение 1. Говорят, что $G$ разлагается во (внутреннее) прямое произведение1) подгрупп $G_1,\dots,G_n$, если

  1. каждый элемент $g\in G$ единственным образом представляется в виде произведения элементов из $G_i$:

    $g=g_1\dots g_n$, где $g_i\in G_i$;

  2. элементы из разных подгрупп перестановочны:

    $g_ig_j=g_jg_i$ для любых $g_i\in G_i$ и $g_j\in G_j$, если $i\neq j$.

При этом пишут $G=G_1\times\dots\times G_n$.

Внешнее прямое произведение

Пусть заданы группы $G_1,\dots,G_n$.

Определение 2. Совокупность последовательностей $(g_1,\dots,g_n)$, где $g_i\in G_i$, с покомпонентной операцией умножения

$(g_1,\dots,g_n)(g_1',\dots,g_n')=(g_1g_1',\dots,g_ng_n')$,

называется (внешним) прямым произведением2) и обозначается $G_1\times\dots\times G_n$.

Предложение 1. Множество $G_1\times\dots\times G_n$ с определенной выше операцией умножения является группой.

Отождествляя каждый элемент $g\in G_i$ с последовательностью $(e,\dots,g,\dots,e)$, где $g$ стоит на $i$-м месте, мы получаем вложение $G_i$ в $G_1\times\dots\times G_n$. Образ группы $G_i$ при этом вложении обозначим также через $G_i$, тогда группа $G_1\times\dots\times G_n$ есть (внутреннее) прямое произведение подгрупп $G_i$. Обратно, если некоторая группа $G$ разлагается в прямое произведение своих подгрупп $G_1,\dots,G_n$, то отображение $G_1\times\dots\times G_n\rightarrow G\colon(g_1,\dots,g_n)\mapsto g_1\dots g_n$, является изоморфизмом групп.

Литература

1) inner direct product
2) outer direct product
glossary/group/product/direct.txt · Последние изменения: 18.01.2011 15:29:36 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0