Содержание
Прямое произведение групп
проверено
Внутреннее прямое произведение
Пусть — группа.
Определение 1. Говорят, что разлагается во (внутреннее) прямое произведение1) подгрупп
, если
- каждый элемент
единственным образом представляется в виде произведения элементов из
:
, где
;
- элементы из разных подгрупп перестановочны:
для любых
и
, если
.
При этом пишут .
Внешнее прямое произведение
Пусть заданы группы .
Определение 2. Совокупность последовательностей , где
, с покомпонентной операцией умножения
,
называется (внешним) прямым произведением2) и обозначается .
Предложение 1. Множество с определенной выше операцией умножения является группой.
Отождествляя каждый элемент с последовательностью
, где
стоит на
-м месте, мы получаем вложение
в
. Образ группы
при этом вложении обозначим также через
, тогда группа
есть (внутреннее) прямое произведение подгрупп
. Обратно, если некоторая группа
разлагается в прямое произведение своих подгрупп
, то отображение
, является изоморфизмом групп.