Прямое произведение групп

проверено

Внутреннее прямое произведение

Пусть $G$ — группа.

Определение 1. Говорят, что $G$ разлагается во (внутреннее) прямое произведение¹⁾ подгрупп $G_1,\dots,G_n$ , если

каждый элемент $g\in G$ единственным образом представляется в виде произведения элементов из $G_i$ :

$g=g_1\dots g_n$ , где $g_i\in G_i$ ;
элементы из разных подгрупп перестановочны:

$g_ig_j=g_jg_i$ для любых $g_i\in G_i$ и $g_j\in G_j$ , если $i\neq j$ .

При этом пишут $G=G_1\times\dots\times G_n$ .

Внешнее прямое произведение

Пусть заданы группы $G_1,\dots,G_n$ .

Определение 2. Совокупность последовательностей $(g_1,\dots,g_n)$ , где $g_i\in G_i$ , с покомпонентной операцией умножения

$(g_1,\dots,g_n)(g_1',\dots,g_n')=(g_1g_1',\dots,g_ng_n')$ ,

называется (внешним) прямым произведением²⁾ и обозначается $G_1\times\dots\times G_n$ .

Предложение 1. Множество $G_1\times\dots\times G_n$ с определенной выше операцией умножения является группой.

Отождествляя каждый элемент $g\in G_i$ с последовательностью $(e,\dots,g,\dots,e)$ , где $g$ стоит на $i$ -м месте, мы получаем вложение $G_i$ в $G_1\times\dots\times G_n$ . Образ группы $G_i$ при этом вложении обозначим также через $G_i$ , тогда группа $G_1\times\dots\times G_n$ есть (внутреннее) прямое произведение подгрупп $G_i$ . Обратно, если некоторая группа $G$ разлагается в прямое произведение своих подгрупп $G_1,\dots,G_n$ , то отображение $G_1\times\dots\times G_n\rightarrow G\colon(g_1,\dots,g_n)\mapsto g_1\dots g_n$ , является изоморфизмом групп.