Содержание
Жорданова нормальная форма
проверено. сюда бы еще метод приведения добавить
Жорданова матрица
Для произвольного поля определены матрицы специального вида с элементами из
. Пусть
.
Определение 1. Жордановой клеткой1) размера
с собственным значением
называется матрица вида
Определение 2. Жордановой матрицей2) называется матрица, состоящая из диагональных блоков и нулей вне этих блоков:
Жорданова нормальная форма
Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве
над полем
. Зафиксировав в
некоторый базис
, можно однозначно определить матрицу
этого линейного оператора.
Определение 3. Жордановым базисом линейного оператора называется такой базис пространства
, в которой матрица
оператора
является жордановой. Говорят также, что матрица в этом базисе имеет жорданову нормальную форму.
Определение 4. Приведением квадратной матрицы к жордановой нормальной форме называется решение матричного уравнения
, где
— некоторая жорданова матрица.
Теорема 1. Каждая квадратная матрица порядка
над алгебраически замкнутым полем
приводится к жордановой нормальной форме, единственной с точностью до перестановки клеток.
Корневые подпространства
Пусть — собственное значение линейного оператора
на пространстве
.
Определение 5. Корневым подпространством3), соответствующим собственному значению называется множество векторов
.
Предложение 1. Пусть — линейный оператор на пространстве
с характеристическим многочленом
где
при
. Тогда
— прямая сумма корневых подпространств
, каждое из которых инвариантно относительно
и имеет размерность
. Оператор
нильпотентен на
и невырожден на подпространстве
. Кроме того,
— единственное собственное значение оператора
.