Жорданова нормальная форма

проверено. сюда бы еще метод приведения добавить

Жорданова матрица

Для произвольного поля $F$ определены матрицы специального вида с элементами из $F$ . Пусть $\lambda\in F$ .

Определение 1. Жордановой клеткой¹⁾ $J_r(\lambda)$ размера $r\times r$ с собственным значением $\lambda$ называется матрица вида

$J_r(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda\end{pmatrix}.$

Определение 2. Жордановой матрицей²⁾ называется матрица, состоящая из диагональных блоков $J_{r_i}(\lambda_i)$ и нулей вне этих блоков:

$\begin{pmatrix}J_{r_1}(\lambda_1) & 0 & \ldots & 0\\0 & J_{r_2}(\lambda_2) & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & J_{r_k}(\lambda_k)\end{pmatrix}.$

Жорданова нормальная форма

Пусть $\varphi\colon V\rightarrow V$ — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$ . Зафиксировав в $V$ некоторый базис $\{e_1,\ldots,e_n\}$ , можно однозначно определить матрицу $A_{\varphi}$ этого линейного оператора.

Определение 3. Жордановым базисом линейного оператора $\varphi\colon V\rightarrow V$ называется такой базис пространства $V$ , в которой матрица $A_{\varphi}$ оператора $\varphi$ является жордановой. Говорят также, что матрица в этом базисе имеет жорданову нормальную форму.

Определение 4. Приведением квадратной матрицы $A$ к жордановой нормальной форме называется решение матричного уравнения $X^{-1}AX=J(A)$ , где $J(A)$ — некоторая жорданова матрица.

Теорема 1. Каждая квадратная матрица $A$ порядка $n$ над алгебраически замкнутым полем $F$ приводится к жордановой нормальной форме, единственной с точностью до перестановки клеток.

Корневые подпространства

Пусть $\lambda$ — собственное значение линейного оператора $\varphi$ на пространстве $V$ .

Определение 5. Корневым подпространством³⁾, соответствующим собственному значению $\lambda$ называется множество векторов

$V(\lambda)=\{v\in V|\exists k\in\mathbb{N}:(\varphi-\lambda\textrm{id})^kv=0\}$ .

Предложение 1. Пусть $\varphi$ — линейный оператор на пространстве $V$ с характеристическим многочленом $\chi_{\varphi}(t)=(t-\lambda_1)^{n_1}\cdot\ldots\cdot(t-\lambda_p)^{n_p},$ где $\lambda_i\neq\lambda_j$ при $i\neq j$ . Тогда $V=V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)$ — прямая сумма корневых подпространств $V(\lambda_i)$ , каждое из которых инвариантно относительно $\varphi$ и имеет размерность $\dim V(\lambda_i)=n_i$ . Оператор $\varphi-\lambda_i\textrm{id}$ нильпотентен на $V(\lambda_i)$ и невырожден на подпространстве $V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_{i-1})\oplus V(\lambda_{i+1})\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)$ . Кроме того, $\lambda_i$ — единственное собственное значение оператора $\varphi_{|V(\lambda_i)}$ .