Содержание
Универсальная обертывающая алгебра
проверено
Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и — алгебра Ли над .
Определение 1. Универсальной обертывающей алгеброй1) алгебры Ли называется такая пара , что
- — ассоциативная алгебра с единицей над кольцом .
- если — другая такая пара2), то существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр , что , то есть коммутативна диаграмма
.
Пример 1. Пусть — алгебра Ли над кольцом . Тогда если и только если .
Существование универсальной обертывающей алгебры
Предложение 1. Пусть — тензорная алгебра алгебры . Пусть — двусторонний идеал в , порожденный элементами для всех . Тогда вместе с канонической проекцией является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли .
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта
Теорема (Пуанкаре-Биркгофа-Витта). Пусть алгебра Ли является свободным модулем над и — ее универсальная обертывающая алгебра. Если — базис в над с линейно упорядоченным индексным множеством , то одночлены вида , где и , образуют базис в над .
Следствие 1. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта гомоморфизм инъективен.
Следствие 2. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта универсальная обертывающая алгебра как ассоциативная алгебра порождается и множеством .
Пример 2. Пусть — абелева алгебра Ли над кольцом , то есть для . Тогда универсальная обертывающая есть в точности кольцо многочленов от переменных .
Литература
- Гото М., Гроссханс Ф. «Полупростые алгебры Ли», Мир, 1981.