Универсальная обертывающая алгебра

проверено

Определение

Пусть $R$ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и $L$алгебра Ли над $R$.

Определение 1. Универсальной обертывающей алгеброй1) алгебры Ли $L$ называется такая пара $(\mathcal{U}(L),\varphi)$, что

  1. если $(\mathcal{A}(L),\psi)$ — другая такая пара2), то существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр $\theta:\mathcal{U}(L)\rightarrow\mathcal{A}(L)$, что $\theta\circ\varphi=\psi$, то есть коммутативна диаграмма

    $\begin{diagram}\node[2]{\mathcal{L}}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\arrow[2]{se,b}{\psi}\node[2]{\mathcal{U}(\mathcal{L})_L}\arrow[2]{s,r}{\theta}\\ \\ \node[4]{\mathcal{A}(\mathcal{L})_L}\end{diagram}$.

Пример 1. Пусть $L$ — алгебра Ли над кольцом $R$. Тогда $\mathcal{U}(L)=R$ если и только если $L=0$.

Существование универсальной обертывающей алгебры

Предложение 1. Пусть $T(L)=R\oplus L\oplus L\otimes L\oplus L\otimes L\otimes L\oplus \ldots$тензорная алгебра алгебры $L$. Пусть $I$двусторонний идеал в $T(L)$, порожденный элементами $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]$ для всех $x,y\in\mathcal{L}$. Тогда $T(L)/I$ вместе с канонической проекцией $\varphi\colon L\rightarrow T(L)/I$ является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли $L$.

Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта

Теорема (Пуанкаре-Биркгофа-Витта). Пусть алгебра Ли $L$ является свободным модулем над $R$ и $(\mathcal{U}(L),\varphi)$ — ее универсальная обертывающая алгебра. Если $\{x_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ — базис в $L$ над $R$ с линейно упорядоченным индексным множеством $I$, то одночлены вида $\varphi(x_{\alpha_1})^{k_1}\ldots \varphi(x_{\alpha_r})^{k_r}$, где $\alpha_1\leqslant\alpha_2\leqslant\ldots\leqslant\alpha_r$ и $k_i\geqslant 0$, образуют базис в $\mathcal{U}(L)$ над $R$.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта гомоморфизм $\varphi$ инъективен.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта универсальная обертывающая алгебра $\mathcal{U}(L)$ как ассоциативная алгебра порождается $1$ и множеством $\{\varphi(x_{\alpha})\vert\alpha\in I\}$.

Пример 2. Пусть $L=\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_R$ — абелева алгебра Ли над кольцом $R$, то есть $[x_i,x_j]=0$ для $1\leqslant i,j\leqslant n$. Тогда универсальная обертывающая $L$ есть в точности кольцо многочленов от $n$ переменных $R[x_1,\ldots,x_n]$.

Литература

1) universal enveloping algebra
2) то есть пара, удовлетворяющая условиям 1 и 2
glossary/algebra/universal/enveloping.txt · Последние изменения: 04.03.2013 21:59:24 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0