Универсальная обертывающая алгебра

проверено

Определение

Пусть $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и $L$ — алгебра Ли над $R$ .

Определение 1. Универсальной обертывающей алгеброй¹⁾ алгебры Ли $L$ называется такая пара $(\mathcal{U}(L),\varphi)$ , что

$\mathcal{U}(L)$ — ассоциативная алгебра с единицей над кольцом $R$ .
$\varphi:L\rightarrow\mathcal{U}(L)_L$ — гомоморфизм алгебр Ли, где $\mathcal{U}(L)_L$ — алгебра Ли ассоциативной алгебры $\mathcal{U}(L)$ .
если $(\mathcal{A}(L),\psi)$ — другая такая пара²⁾, то существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр $\theta:\mathcal{U}(L)\rightarrow\mathcal{A}(L)$ , что $\theta\circ\varphi=\psi$ , то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node[2]{\mathcal{L}}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\arrow[2]{se,b}{\psi}\node[2]{\mathcal{U}(\mathcal{L})_L}\arrow[2]{s,r}{\theta}\\ \\ \node[4]{\mathcal{A}(\mathcal{L})_L}\end{diagram}$ .

Пример 1. Пусть $L$ — алгебра Ли над кольцом $R$ . Тогда $\mathcal{U}(L)=R$ если и только если $L=0$ .

Существование универсальной обертывающей алгебры

Предложение 1. Пусть $T(L)=R\oplus L\oplus L\otimes L\oplus L\otimes L\otimes L\oplus \ldots$ — тензорная алгебра алгебры $L$ . Пусть $I$ — двусторонний идеал в $T(L)$ , порожденный элементами $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]$ для всех $x,y\in\mathcal{L}$ . Тогда $T(L)/I$ вместе с канонической проекцией $\varphi\colon L\rightarrow T(L)/I$ является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли $L$ .

Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта

Теорема (Пуанкаре-Биркгофа-Витта). Пусть алгебра Ли $L$ является свободным модулем над $R$ и $(\mathcal{U}(L),\varphi)$ — ее универсальная обертывающая алгебра. Если $\{x_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ — базис в $L$ над $R$ с линейно упорядоченным индексным множеством $I$ , то одночлены вида $\varphi(x_{\alpha_1})^{k_1}\ldots \varphi(x_{\alpha_r})^{k_r}$ , где $\alpha_1\leqslant\alpha_2\leqslant\ldots\leqslant\alpha_r$ и $k_i\geqslant 0$ , образуют базис в $\mathcal{U}(L)$ над $R$ .

Следствие 1. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта гомоморфизм $\varphi$ инъективен.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта универсальная обертывающая алгебра $\mathcal{U}(L)$ как ассоциативная алгебра порождается $1$ и множеством $\{\varphi(x_{\alpha})\vert\alpha\in I\}$ .

Пример 2. Пусть $L=\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_R$ — абелева алгебра Ли над кольцом $R$ , то есть $[x_i,x_j]=0$ для $1\leqslant i,j\leqslant n$ . Тогда универсальная обертывающая $L$ есть в точности кольцо многочленов от $n$ переменных $R[x_1,\ldots,x_n]$ .