Содержание
Универсальная обертывающая алгебра
проверено
Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей и
— алгебра Ли над
.
Определение 1. Универсальной обертывающей алгеброй1) алгебры Ли называется такая пара
, что
- если
— другая такая пара2), то существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр
, что
, то есть коммутативна диаграмма
.
Пример 1. Пусть — алгебра Ли над кольцом
. Тогда
если и только если
.
Существование универсальной обертывающей алгебры
Предложение 1. Пусть — тензорная алгебра алгебры
. Пусть
— двусторонний идеал в
, порожденный элементами
для всех
. Тогда
вместе с канонической проекцией
является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли
.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта
Теорема (Пуанкаре-Биркгофа-Витта). Пусть алгебра Ли является свободным модулем над
и
— ее универсальная обертывающая алгебра. Если
— базис в
над
с линейно упорядоченным индексным множеством
, то одночлены вида
, где
и
, образуют базис в
над
.
Следствие 1. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта гомоморфизм инъективен.
Следствие 2. При выполнении условий теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта универсальная обертывающая алгебра как ассоциативная алгебра порождается
и множеством
.
Пример 2. Пусть — абелева алгебра Ли над кольцом
, то есть
для
. Тогда универсальная обертывающая
есть в точности кольцо многочленов от
переменных
.
Литература
- Гото М., Гроссханс Ф. «Полупростые алгебры Ли», Мир, 1981.