Тензорная алгебра

проверено

Определение

Пусть $M$левый унитарный модуль над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей $R$ и пусть $T^r(M)=\underbrace{M\otimes\ldots\otimes M}_r$тензорное произведение модулей $M$, взятое $r$ раз, $r>0$. Положим $T^0(M)=R$.

Определение 1. Тензорной алгеброй1) над модулем $M$ называется левый $R$-модуль

$T(M)=T^0(M)\oplus T^1(M)\oplus T^2(M)\oplus\ldots\oplus T^r(M)\oplus\ldots$

с операцией умножения $\otimes$, определенной правилом:

$(e_1\otimes\ldots\otimes e_r)\otimes(f_1\otimes\ldots\otimes f_q)=e_1\otimes\ldots\otimes e_r\otimes f_1\otimes\ldots\otimes f_q\in T^{r+q}(M)$

для произвольных $e_1\otimes e_2\otimes\ldots\otimes e_r\in T^r(M),\ f_1\otimes f_2\otimes\ldots\otimes f_q\in T^q(M)$.

Замечание 1. Операция $\otimes$ задает на модуле $T(M)$ структуру $R$-алгебры2).

Тензорная алгебра над свободным модулем

Предположим, что $R$-модуль $M$свободный и конечномерный с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$. В этом случае элементы вида $e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r}$ образуют базис модуля $T^r(M),r>0$ и каждый элемент из $T(M)$ имеет единственное представление в виде конечной суммы $a_0+\underset{r>0}{\sum}a_{i_1\ldots i_r}e_{i_1}\otimes\ldots\otimes e_{i_r}$. То есть $T(M)$ — свободный бесконечномерный $R$-модуль.

Предложение 1. Если модуль $M$ одномерен, то тензорная алгебра $T(M)$ изоморфна алгебре многочленов от одной переменной $R[T]$. При этом элементу $\underbrace{m\otimes\ldots\otimes m}_r\in T^r(M)$ ставится в соответствие $T^r\in R[T]$.

Литература

1) tensor algebra
2) вообще говоря, некоммутативной
glossary/algebra/tensor.txt · Последние изменения: 14.09.2011 01:09:46 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0