Тензорная алгебра
проверено
Определение
Пусть — левый унитарный модуль над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей
и пусть
— тензорное произведение модулей
, взятое
раз,
. Положим
.
Определение 1. Тензорной алгеброй1) над модулем называется левый
-модуль
с операцией умножения , определенной правилом:
для произвольных .
Замечание 1. Операция задает на модуле
структуру
-алгебры2).
Тензорная алгебра над свободным модулем
Предположим, что -модуль
— свободный и конечномерный с базисом
. В этом случае элементы вида
образуют базис модуля
и каждый элемент из
имеет единственное представление в виде конечной суммы
. То есть
— свободный бесконечномерный
-модуль.
Предложение 1. Если модуль одномерен, то тензорная алгебра
изоморфна алгебре многочленов от одной переменной
. При этом элементу
ставится в соответствие
.