Содержание
Тензорное произведение модулей
проверено
Тензорное произведение модулей над ассоциативным кольцом
Пусть — ассоциативное кольцо с единицей,
— правый унитарный модуль над
,
— левый унитарный модуль над
.
Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу , порожденную всеми парами
, где
. Пусть
— подгруппа в
, порожденная элементами вида
,
,
,
где ,
. Тензорным произведением1)
модулей
и
над кольцом
называется факторгруппа
.
Элементы обозначаются символом
, или
.
Предложение 1. Тензорное произведение является абелевой группой, или что то же самое, левым унитарным модулем над кольцом целых чисел
.
Предложение 2. Операция тензорного произведения удовлетворяет следующим свойствам
для всех
и
;
для всех
и
;
для всех
,
и
.
Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей,
и
— левые унитарные модули над
.
Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу , порожденную всеми парами
, где
. Пусть
— подгруппа в
, порожденная элементами вида
,
,
,
,
где ,
. Тензорным произведением2)
модулей
и
над кольцом
называется факторгруппа
.
Элементы обозначаются символом
, или
.
Предложение 3. Тензорное произведение является левым унитарным модулем над кольцом
.
Предложение 4. Операция тензорного произведения удовлетворяет следующим свойствам
для всех
и
;
для всех
и
;
для всех
,
и
.