Тензорное произведение модулей

проверено

Тензорное произведение модулей над ассоциативным кольцом

Пусть $R$ассоциативное кольцо с единицей, $M_1$правый унитарный модуль над $R$, $M_2$левый унитарный модуль над $R$.

Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу $F$, порожденную всеми парами $(m_1,m_2)$, где $m_i\in M_i$. Пусть $D$ — подгруппа в $F$, порожденная элементами вида

$(m_1+m_1',m_2)-(m_1,m_2)-(m_1',m_2)$,

$(m_1,m_2+m_2')-(m_1,m_2)-(m_1,m_2')$,

$(m_1\cdot r,m_2)-(m_1,r\cdot m_2)$,

где $m_i,m_i'\in M_i$, $r\in R$. Тензорным произведением1) $M_1\otimes_R M_2$ модулей $M_1$ и $M_2$ над кольцом $R$ называется факторгруппа $F/D$.

Элементы $M_1\otimes_R M_2$ обозначаются символом $m_1\otimes m_2$, или $m_1\otimes_R m_2$.

Предложение 1. Тензорное произведение $M_1\otimes_R M_2$ является абелевой группой, или что то же самое, левым унитарным модулем над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$.

Предложение 2. Операция тензорного произведения $\otimes$ удовлетворяет следующим свойствам

  1. $(m_1+m_1')\otimes m_2=m_1\otimes m_2+m_1'\otimes m_2$ для всех $m_1,m_1'\in M_1$ и $m_2\in M_2$;
  2. $m_1\otimes(m_2+m_2')=m_1\otimes m_2+m_1\otimes m_2'$ для всех $m_1\in M_1$ и $m_2,m_2'\in M_2$;
  3. $m_1\cdot r\otimes m_2=m_1\otimes r\cdot m_2$ для всех $m_1\in M_1$, $m_2\in M_2$ и $r\in R$.

Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом

Пусть $R$ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, $M_1$ и $M_2$левые унитарные модули над $R$.

Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу $F$, порожденную всеми парами $(m_1,m_2)$, где $m_i\in M_i$. Пусть $D$ — подгруппа в $F$, порожденная элементами вида

$(m_1+m_1',m_2)-(m_1,m_2)-(m_1',m_2)$,

$(m_1,m_2+m_2')-(m_1,m_2)-(m_1,m_2')$,

$(r\cdot m_1,m_2)-r\cdot(m_1,m_2)$,

$(m_1,r\cdot m_2)-r\cdot(m_1,m_2)$,

где $m_i,m_i'\in M_i$, $r\in R$. Тензорным произведением2) $M_1\otimes_R M_2$ модулей $M_1$ и $M_2$ над кольцом $R$ называется факторгруппа $F/D$.

Элементы $M_1\otimes_R M_2$ обозначаются символом $m_1\otimes m_2$, или $m_1\otimes_R m_2$.

Предложение 3. Тензорное произведение $M_1\otimes_R M_2$ является левым унитарным модулем над кольцом $R$.

Предложение 4. Операция тензорного произведения $\otimes$ удовлетворяет следующим свойствам

  1. $(m_1+m_1')\otimes m_2=m_1\otimes m_2+m_1'\otimes m_2$ для всех $m_1,m_1'\in M_1$ и $m_2\in M_2$;
  2. $m_1\otimes(m_2+m_2')=m_1\otimes m_2+m_1\otimes m_2'$ для всех $m_1\in M_1$ и $m_2,m_2'\in M_2$;
  3. $(r\cdot m_1)\otimes m_2=m_1\otimes(r\cdot m_2)=r(m_1\otimes m_2)$ для всех $m_1\in M_1$, $m_2\in M_2$ и $r\in R$.

Литература

1) , 2) tensor product
glossary/module/product/tensor.txt · Последние изменения: 14.09.2011 01:21:05 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0