Топологическая группа

Определение

Определение 1. Множество $G$ называется топологической группой1), если

  1. $G$ является группой;
  2. Групповые операции $G\times G\rightarrow G\colon (x,y)\mapsto x\cdot y$ и $G\rightarrow G\colon x\mapsto x^{-1}$ являются непрерывными в этой топологии2).

Замечание 1. Можно переформулировать это определение следующим образом: топологическая группа — это группа $G$, одновременно являющаяся топологическим пространством, причем

  1. для любого открытого подмножества $U\subseteq G$ найдутся такие открытые подмножества $V,W\subseteq G$, что $VW=\{v\cdot w\vert v\in V, w\in W\}=U$,
  2. для любого открытого подмножества $U\subseteq G$ найдется такое открытое подмножество $V\subseteq G$, что $V^{-1}=\{v^{-1}\vert v\in V\}=U$.

Пример 1. Пусть $V=\mathbb{R}^n$$n$-мерное векторное пространство, а значит, абелева группа относительно операции сложения. Кроме того, $\mathbb{R}^n$ является метрическим топологическим пространством с метрикой $\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ ( см. Пример 1). Операции сложения и взятия противоположного элемента непрерывны в этой топологии, поэтому $\mathbb{R}^n$ — топологическая группа.

Свойства

Предложение 1. Для любых двух элементов $x,y\in G$ существует непрерывное отображение $g\colon G\rightarrow G$ такое, что $g(x)=y$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Определим отображение умножения слева на элемент $a\in G$:

$f_a(x)=a\cdot x$ для всех $x\in G$.

Это непрерывное отображение, так как по определению для окрестности $U_{a\cdot x}$ точки $a\cdot x$ найдутся такие окрестности $U_x$ и $U_a$ точек $x$ и $a$ соответственно, что $U_aU_x\subseteq U_{a\cdot x}$. Поскольку $a\in U_a$, то $aU_x\subseteq U_{a\cdot x}$, то есть $f_a(U_x)\subseteq U_{a\cdot x}$, что и означает непрерывность отображения $f_a$.

Искомое отображение — это отображение $f_{yx^{-1}}$.

Следствие 1. Все локальные свойства топологической группы $G$ достаточно проверять только для единичного элемента группы.

Подгруппа

Определение 2. Подмножество $H$ топологической группы $G$ называется подгруппой3), если

  1. $H$замкнутое подмножество в $G$.

Определение 3. Подгруппа $H$ топологической группы $G$ называется ее нормальной подгруппой4), если $H$нормальная подгруппа в $G$.

Факторгруппа топологической группы

Предложение 2. Пусть $G$ — топологическая группа и $H$ — ее нормальная подгруппа. Рассмотрим факторгруппу $G/H$ и определенную на ней структуру фактортопологии. Тогда групповые операции на группе $G/H$ будут непрерывны в этой топологии.

Определение 4. Факторгруппой топологической группы5) $G$ по нормальной подгруппе $H$ называется факторгруппа $G/H$ с индуцированной структурой фактортопологии.

Гомоморфизм топологических групп

Определение 5. Отображение $\varphi\colon G\rightarrow H$ называется гомоморфизмом топологических групп6), если оно является

  1. непрерывным отображением топологических пространств.

Определение 6. Отображение $\varphi\colon G\rightarrow H$ называется изоморфизмом топологических групп7), если оно является

  1. гомеоморфизмом топологических пространств.

Определение 7. Автоморфизмом8) топологической группы $G$ называется изоморфизм $\varphi\colon G\rightarrow G$.

Литература

1) topological group
2) Подразумевается, что на $G\times G$топология произведения.
3) subgroup of topological group
4) normal subgroup of topological group
5) quotient of topological group
6) homomorphism of topological groups
7) isomorphism of topological groups
8) automorphism
glossary/topology/group.txt · Последние изменения: 06.04.2014 23:48:20 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0