Содержание

Топологическая группа

Топологическая группа

Определение

Определение 1. Множество $G$ называется топологической группой¹⁾, если

$G$ является группой;
$G$ является топологическим пространством;
Групповые операции $G\times G\rightarrow G\colon (x,y)\mapsto x\cdot y$ и $G\rightarrow G\colon x\mapsto x^{-1}$ являются непрерывными в этой топологии²⁾.

Замечание 1. Можно переформулировать это определение следующим образом: топологическая группа — это группа $G$ , одновременно являющаяся топологическим пространством, причем

для любого открытого подмножества $U\subseteq G$ найдутся такие открытые подмножества $V,W\subseteq G$ , что $VW=\{v\cdot w\vert v\in V, w\in W\}=U$ ,
для любого открытого подмножества $U\subseteq G$ найдется такое открытое подмножество $V\subseteq G$ , что $V^{-1}=\{v^{-1}\vert v\in V\}=U$ .

Пример 1. Пусть $V=\mathbb{R}^n$ — $n$ -мерное векторное пространство, а значит, абелева группа относительно операции сложения. Кроме того, $\mathbb{R}^n$ является метрическим топологическим пространством с метрикой $\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ ( см. Пример 1). Операции сложения и взятия противоположного элемента непрерывны в этой топологии, поэтому $\mathbb{R}^n$ — топологическая группа.

Свойства

Предложение 1. Для любых двух элементов $x,y\in G$ существует непрерывное отображение $g\colon G\rightarrow G$ такое, что $g(x)=y$ .

Доказательство.

Определим отображение умножения слева на элемент $a\in G$ :

$f_a(x)=a\cdot x$ для всех $x\in G$ .

Это непрерывное отображение, так как по определению для окрестности $U_{a\cdot x}$ точки $a\cdot x$ найдутся такие окрестности $U_x$ и $U_a$ точек $x$ и $a$ соответственно, что $U_aU_x\subseteq U_{a\cdot x}$ . Поскольку $a\in U_a$ , то $aU_x\subseteq U_{a\cdot x}$ , то есть $f_a(U_x)\subseteq U_{a\cdot x}$ , что и означает непрерывность отображения $f_a$ .

Искомое отображение — это отображение $f_{yx^{-1}}$ .

Следствие 1. Все локальные свойства топологической группы $G$ достаточно проверять только для единичного элемента группы.

Подгруппа

Определение 2. Подмножество $H$ топологической группы $G$ называется подгруппой³⁾, если

$H$ подгруппа в $G$ ;
$H$ — замкнутое подмножество в $G$ .

Определение 3. Подгруппа $H$ топологической группы $G$ называется ее нормальной подгруппой⁴⁾, если $H$ — нормальная подгруппа в $G$ .

Факторгруппа топологической группы

Предложение 2. Пусть $G$ — топологическая группа и $H$ — ее нормальная подгруппа. Рассмотрим факторгруппу $G/H$ и определенную на ней структуру фактортопологии. Тогда групповые операции на группе $G/H$ будут непрерывны в этой топологии.

Определение 4. Факторгруппой топологической группы⁵⁾ $G$ по нормальной подгруппе $H$ называется факторгруппа $G/H$ с индуцированной структурой фактортопологии.

Гомоморфизм топологических групп

Определение 5. Отображение $\varphi\colon G\rightarrow H$ называется гомоморфизмом топологических групп⁶⁾, если оно является

гомоморфизмом групп;
непрерывным отображением топологических пространств.

Определение 6. Отображение $\varphi\colon G\rightarrow H$ называется изоморфизмом топологических групп⁷⁾, если оно является

изоморфизмом групп;
гомеоморфизмом топологических пространств.

Определение 7. Автоморфизмом⁸⁾ топологической группы $G$ называется изоморфизм $\varphi\colon G\rightarrow G$ .

Литература

Понтрягин Л.С. «Непрерывные группы», УРСС, 2009.

топология, автоморфизм топологической группы, гомоморфизм топологических групп, изоморфизм топологических групп, нормальная подгруппа топологической группы, подгруппа топологической группы, топологическая группа, факторгруппа топологической группы

¹⁾

topological group

²⁾

Подразумевается, что на $G\times G$ — топология произведения.

³⁾

subgroup of topological group

⁴⁾

normal subgroup of topological group

⁵⁾

quotient of topological group

⁶⁾

homomorphism of topological groups

⁷⁾

isomorphism of topological groups

⁸⁾

automorphism

glossary/topology/group.txt · Последние изменения: 06.04.2014 19:48:20 — Ладилова Анна

Наверх