Аксиомы счетности

Первая аксиома счетности

Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство.

Определение 1. Говорят, что семейство подмножеств $\sigma_x=\{V_\alpha\in\tau\vert x\in V_\alpha\}$ является базой окрестностей точки1) $x\in X$, если в каждой окрестности этой точки содержится окрестность из $\sigma_x$, то есть $(\forall U_x\in\tau)(\exists V_\alpha\in\sigma_x):x\in V_\alpha\subseteq U_x$.

Определение 2. Говорят, что $X$ удовлетворяет первой аксиоме счетности2), если каждая его точка $x\in X$ обладает не более чем счетной базой окрестностей:
$(\forall x\in X)(\exists\sigma_x\subseteq\tau):(\vert\sigma_x\vert\leqslant\aleph_0)\wedge((\forall U_x\in\tau)(\exists V_\alpha\in\sigma_x):x\in V_\alpha\subseteq U_x)$.

Пример 1. Метрическое пространство $M$ удовлетворяет первой аксиоме счетности. В качестве счетной базы окрестностей каждой точки $a\in M$ можно выбрать множество всех открытых шаров с центром в точке $a$ радиуса $\frac{1}{n}$, то есть $\sigma_a=\{D_{\frac{1}{n}}(a)|n\in\mathbb{N}\}$.

Вторая аксиома счетности

Определение 3. Говорят, что $X$ удовлетворяет второй аксиоме счетности3), если оно обладает не более чем счетной базой.

Предложение 1. Топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Пример 2. Произвольное несчетное пространство $X$ с дискретной топологией удовлетворяет первой аксиоме счетности, но не удовлетворяет второй.

Предложение 2. Топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, является сепарабельным топологическим пространством.

Предложение 3. Метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности тогда и только тогда, когда удовлетворяет первой аксиоме счетности и является сепарабельным.

Следствие 1. Метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.

Пример 3. Пространство $\mathbb{R}^n$ удовлетворяет второй аксиоме счетности, так как это метризуемое топологическое пространство, и оно сепарабельно4).

Предложение 4. Пусть <latex>f:X\rightarrow Y</latex> — отображение топологических пространств. Если <latex>f:X\rightarrow Y</latex> непрерывно в точке <latex>x\in X</latex>, то из условия <latex>x=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n</latex>5) следует что <latex>f(x)=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}f(x_n)</latex>. Предложение 5. Пусть <latex>f:X\rightarrow Y</latex> — отображение топологических пространств и <latex>X</latex> удовлетворяет первой аксиоме счетности. Если из условия <latex>x=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n</latex> следует что <latex>f(x)=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}f(x_n)</latex>, то <latex>f:X\rightarrow Y</latex> непрерывно в точке <latex>x\in X</latex>.

Теорема 1 (Теорема Линделёфа). Если топологическое пространство $X$ удовлетворяет второй аксиоме счетности, то в произвольном его открытом покрытии $\mathcal{A}=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in I\}$ содержится не более чем счетное подпокрытие $\mathcal{B}=\{U_{\alpha_k}\in\mathcal{A}\vert k\in\mathbb{N}\}$.

Литература

1) base of point neighborhood
2) first-countable space
3) second-countable space
5) точка $x\in X$ является пределом последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ в топологическом пространстве $X$
glossary/topology/axiom/countability.txt · Последние изменения: 01.10.2013 23:14:19 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0