Предел в топологическом пространстве

проверено

Определение

Определение 1. Пусть $X$ — топологическое пространство и $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность точек $x_n$ из $X$ . Точка $a\in X$ называется пределом последовательности¹⁾ $\{x_n\}$ , если для любой окрестности $U_a$ точки $a$ существует натуральное число $N(U_a)$ такое, что для всех $n>N$ выполнено условие $x_n\in U_a$ . Предел $a$ последовательности $\{x_n\}$ обозначается через $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n$ . Говорят также, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к точке $a$ .

Пример 1. Пусть $X=\mathbb{R}$ с обычной топологией, $x_n=\dfrac{1}{n}$ . Тогда $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=0$ .

Предложение 1. Пусть в хаусдорфовом топологическом пространстве $X$ дана последовательность точек $\{x_n\}$ . Если предел этой последовательности существует, то он единственен.

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Гудков Д.А. «Начала топологии», ч.2, ГГУ, 1982.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

топология, предел последовательности, топологическое пространство, хаусдорфово пространство

¹⁾

limit of sequence

glossary/topology/limit.txt · Последние изменения: 01.10.2013 06:04:38 — Администратор

Наверх