Предел в топологическом пространстве

проверено

Определение

Определение 1. Пусть $ X $топологическое пространство и $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность точек $x_n$ из $ X $. Точка $a\in X$ называется пределом последовательности1) $\{x_n\}$, если для любой окрестности $U_a$ точки $ a $ существует натуральное число $N(U_a)$ такое, что для всех $n>N$ выполнено условие $x_n\in U_a$. Предел $ a $ последовательности $\{x_n\}$ обозначается через $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n$. Говорят также, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к точке $ a $.

Пример 1. Пусть $X=\mathbb{R}$ с обычной топологией, $x_n=\dfrac{1}{n}$. Тогда $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=0$.

Предложение 1. Пусть в хаусдорфовом топологическом пространстве $ X $ дана последовательность точек $\{x_n\}$. Если предел этой последовательности существует, то он единственен.

Литература

1) limit of sequence
glossary/topology/limit.txt · Последние изменения: 01.10.2013 10:04:38 — master
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0