Нетерово кольцо

Нетерово слева кольцо

Пусть $ R $ассоциативное кольцо.

Определение 1. Кольцо $ R $ называется нетеровым слева1), если любое непустое множество его левых идеалов имеет максимальный элемент.

Предложение 1. Кольцо $ R $ является нетеровым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек: любая возрастающая цепочка левых идеалов $\rho_1\subseteq\rho_2\subseteq\ldots\subseteq\rho_m\subseteq\ldots$ обрывается, то есть $(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m$.

Теорема 1. Если кольцо $ R $ нетерово слева, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.

Нетерово справа кольцо

Пусть $ R $ассоциативное кольцо.

Определение 1. Кольцо $ R $ называется нетеровым справа2), если любое непустое множество его правых идеалов имеет максимальный элемент.

Предложение 1. Кольцо $ R $ является нетеровым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек: любая возрастающая цепочка правых идеалов $\rho_1\subseteq\rho_2\subseteq\ldots\subseteq\rho_m\subseteq\ldots$ обрывается, то есть $(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m$.

Теорема 1. Если кольцо $ R $ нетерово справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.

Нетерово кольцо

Определение 1. Кольцо называется нетеровым3), если оно одновременно нетерово слева и нетерово справа.

Пример 1. Пусть $ A $ — нетерова коммутативная область целостности, не являющаяся полем и пусть $F=\mathbb{Q}(A)$поле частных для $ A $. Рассмотрим кольцо $ R $, образованное матрицами вида $\begin{pmatrix}x&\alpha\\0&\beta\end{pmatrix}$, где $x\in A$ и $\alpha,\beta\in F$. Тогда кольцо $ R $ нетерово справа, но не нетерово слева.

Пример 2. Любое поле нетерово.

Пример 3. Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ нетерово.

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) left noetherian
2) right noetherian
3) noetherian
glossary/ring/noetherian.txt · Последние изменения: 07.10.2011 22:58:09 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0