Гомологии Хохшильда

Комплекс Хохшильда

Пусть $A$ — ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом $K$ , и $M$ — бимодуль над $A$ .

Заметим, что $A$ — это $K$ -модуль, и, в частности, $M$ также $K$ -модуль.

Определение 1. Определим комплекс Хохшильда¹⁾ как набор модулей $C_n=M\otimes A^{\otimes n}$ ²⁾, $n\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ , и набор гомоморфизмов $d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}$ , заданных формулой

$d_n(m\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_n)=ma_1\otimes\ldots\otimes a_n+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\ldots\otimes a_n+(-1)^na_nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_{n-1}$ .

Предложение 1. Для определенных выше гомоморфизмов справедливо равенство $d_{n-1}\circ d_n=0$ , то есть последовательность

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes n}\stackrel{d_n}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes (n-1)}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}M\otimes A\stackrel{d_1}{\longrightarrow}M$

является комплексом.

Гомологии Хохшильда

Определение 2. Гомологии комплекса Хохшильда $A$ -бимодуля $M$ называют гомологиями Хохшильда³⁾ ассоциативной $K$ -алгебры $A$ с коэффициентами в $M$ и обозначают $H_*(A,M)$ .