Гомологии Хохшильда

Комплекс Хохшильда

Пусть $A$ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом $K$, и $M$бимодуль над $A$.

Заметим, что $A$ — это $K$-модуль, и, в частности, $M$ также $K$-модуль.

Определение 1. Определим комплекс Хохшильда1) как набор модулей $C_n=M\otimes A^{\otimes n}$2), $n\in\mathbb{N}\cup \{0\}$, и набор гомоморфизмов $d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}$, заданных формулой

$d_n(m\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_n)=ma_1\otimes\ldots\otimes a_n+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\ldots\otimes a_n+(-1)^na_nm\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_{n-1}$.

Предложение 1. Для определенных выше гомоморфизмов справедливо равенство $d_{n-1}\circ d_n=0$, то есть последовательность

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes n}\stackrel{d_n}{\longrightarrow}M\otimes A^{\otimes (n-1)}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}M\otimes A\stackrel{d_1}{\longrightarrow}M$

является комплексом.

Гомологии Хохшильда

Определение 2. Гомологии комплекса Хохшильда $A$-бимодуля $M$ называют гомологиями Хохшильда3) ассоциативной $K$-алгебры $A$ с коэффициентами в $M$ и обозначают $H_*(A,M)$.

Пример 1. Нулевая группа гомологий $H_0(A,M)=M/\{m\cdot a-a\cdot m|m\in M,a\in A\}$.

См. также

Литература

  • Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.
1) Hochschild complex
2) тензорное произведение над $K$;$A^{\otimes n}=\underbrace{A\otimes_K\ldots\otimes_KA}_n$$n$-кратное тензорное произведение
3) Hochschild homology
glossary/homology/complex/hochschield.txt · Последние изменения: 10.02.2012 11:35:53 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0