Гомологии комплекса

Группа гомологий

Пусть $R$ассоциативное кольцо, и $C$комплекс $R$-модулей1):

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}C_1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\longrightarrow}\ldots$.

Определение 1. Множество $Z_n=\textrm{Ker}~d_n$ называется модулем $n$-циклов, а $Z(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}Z_n$ — модулем циклов. Элементы этого модуля, соответственно, называются циклами.

Определение 2. Множество $B_n=\textrm{Im}~d_{n-1}$ называется модулем $n$-границ, $B(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}B_n$ — модулем границ. Его элементы называют границами.

Из условия $d_{n-1}\circ d_n=0$ следует, что $B_n\subseteq Z_n$.

Определение 3. Фактормодуль $H_n(C)=Z_n/B_n$ называется $n$группой гомологий. Группа $H(C)=\underset{n\in\mathbb{Z}}{\bigoplus}H_{n}(C) $ называется группой гомологий2) комплекса $C$.

Пример 1. Пусть $X$ — топологическое пространство. Определим неотрицательный комплекс $C(X,R)$, полагая, что $C(X,R)_n$ — это $R$-модуль, порожденный $n$-мерными сингулярными симплексами $f\colon\Delta^n\rightarrow X$, то есть

$C(X,R)_n=\{\sum\alpha_if_i|\alpha_i\in R,f_i\colon\Delta^n\rightarrow X\}$, где сумма предполагается конечной.

Пусть $\varepsilon_i\colon\Delta^{n-1}\rightarrow\Delta^n$,$i\in\{0,1,\ldots,n\}$ — линейное отображение, определенное формулой

$\varepsilon_i(e_k)=\begin{cases}e_k,\quad k<i,\\e_{k+1},k\geqslant i.\end{cases}$

Тогда дифференциал $d_n\colon C(X,R)_n\rightarrow C(X,R)_{n-1}$ задается действием на сингулярном симплексе $f$ формулой

$d_n(f)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}(-1)^if\circ\varepsilon_i$.

Группа гомологий комплекса

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\rightarrow}C(X,R)_n\stackrel{d_n}{\rightarrow}\ldots\stackrel{d_1}{\rightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\rightarrow}0$

называется группой сингулярных гомологий.

Определение 4. Комплекс $C$ с тривиальной группой гомологий $H(C)$ называется ацикличным3).

Литература

1) левых, правых или бимодулей
2) homology group
3) acyclic complex
glossary/homology.txt · Последние изменения: 20.09.2011 18:03:18 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0