Содержание
Гомологии комплекса
Группа гомологий
Пусть — ассоциативное кольцо, и
— комплекс
-модулей1):
.
Определение 1. Множество называется модулем
-циклов, а
— модулем циклов. Элементы этого модуля, соответственно, называются циклами.
Определение 2. Множество называется модулем
-границ,
— модулем границ. Его элементы называют границами.
Из условия следует, что
.
Определение 3. Фактормодуль называется
-й группой гомологий. Группа
называется группой гомологий2) комплекса
.
Пример 1. Пусть — топологическое пространство. Определим неотрицательный комплекс
, полагая, что
— это
-модуль, порожденный
-мерными сингулярными симплексами
, то есть
, где сумма предполагается конечной.
Пусть ,
— линейное отображение, определенное формулой
Тогда дифференциал задается действием на сингулярном симплексе
формулой
.
Группа гомологий комплекса
называется группой сингулярных гомологий.
Определение 4. Комплекс с тривиальной группой гомологий
называется ацикличным3).