Содержание
Гомологии комплекса
Группа гомологий
Пусть — ассоциативное кольцо, и — комплекс -модулей1):
.
Определение 1. Множество называется модулем -циклов, а — модулем циклов. Элементы этого модуля, соответственно, называются циклами.
Определение 2. Множество называется модулем -границ, — модулем границ. Его элементы называют границами.
Из условия следует, что .
Определение 3. Фактормодуль называется -й группой гомологий. Группа называется группой гомологий2) комплекса .
Пример 1. Пусть — топологическое пространство. Определим неотрицательный комплекс , полагая, что — это -модуль, порожденный -мерными сингулярными симплексами , то есть
, где сумма предполагается конечной.
Пусть , — линейное отображение, определенное формулой
Тогда дифференциал задается действием на сингулярном симплексе формулой
.
Группа гомологий комплекса
называется группой сингулярных гомологий.
Определение 4. Комплекс с тривиальной группой гомологий называется ацикличным3).