Комплекс

Комплексы

Пусть $R$ассоциативное кольцо.

Определение 1. Комплекс1) $C$ модулей2) над кольцом $R$ — это последовательность модулей $\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}$ и их гомоморфизмов

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}C_1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\longrightarrow}\ldots$,

удовлетворяющих условию $d_{n-1}\circ d_n=0$ для всех $n\in\mathbb{Z}$. Гомоморфизм $d_n$ называется дифференциалом комплекса3).

Рассматривают также комплексы с возрастающей нумерацией индексов, которые называют коцепными. Коцепной комплекс легко превратить в цепной, полагая $C_n=C^{-n}$ и $d_n=d^{-n+1}$.

Определение 1'. (Коцепной) комплекс4) $C$ модулей5) над кольцом $R$ — это последовательность модулей $\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}$ и их гомоморфизмов

$\ldots\stackrel{d^{-1}}{\longrightarrow}C^0\stackrel{d^0}{\longrightarrow}C^1\stackrel{d^1}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d^{n-2}}{\longrightarrow}C^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\stackrel{d^n}{\longrightarrow}C^{n+1}\stackrel{d^{n+1}}{\longrightarrow}\ldots$,

удовлетворяющих условию $d_{n+1}\circ d_n=0$ для всех $n\in\mathbb{Z}$.

Пример 1. Пусть $M$ — произвольный $R$-модуль. Положим $C_n=0$ для всех целых $n\neq0$ и $C_0=M$. Пусть $d_n=0$ — нулевой гомоморфизм:

$\ldots\rightarrow0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\ldots$.

Очевидно, что $C$ — комплекс.

Определение 2. Комплекс $C$ называется неотрицательным, если $C_{-n}=0$ для всех $n>0$.

Определение 3. Комплекс называется свободным, если свободен каждый из модулей $C_n$. Аналогичным образом определяются понятия «проективный комплекс» — $C_n$ проективен, «инъективный комплекс» — $C_n$ инъективен, «плоский комплекс» — $C_n$ плоский.

Подкомплексы и факторкомплексы

Определение 4. Подкомплексом6) комплекса $C=\{C_n,d_n\}$ называется набор $R$-подмодулей $E_n\subseteq C_n$, удовлетворяющих условию $d_n(E_n)\subseteq E_{n+1}$, вместе с гомоморфизмами-ограничениями $d_{n|E_n}$.

Определение 5. Пусть $E$ — подкомплекс комплекса $C$. Факторкомплексом7) $R$-модулей называется комплекс $C/E=\{C_n/E_n,d_n\}$, где $d_n\colon C_n/E_n\rightarrow C_{n-1}/E_{n-1}\colon \overline{c}\mapsto \overline{d_n(c)}$ — дифференциал, индуцированный отображением $d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}$.

Операции над комплексами

Сдвиг комплекса

Пусть $C$ — комплекс левых $R$-модулей.

Определение 6. $p$сдвигом комплекса $C$ называется комплекс $C[p]$, для которого $C[p]_n=C_{p+n}$ и $d[p]_n=(-1)^pd_{n+p}$.

Тензорное произведение комплексов

Пусть $C$ — комплекс правых $R$-модулей, $C'$ — комплекс левых $R$-модулей.

Определение 7. Тензорным произведением8) неотрицательных комплексов $C$ и $C'$ называется комплекс $\mathbb{Z}$-модулей $C\otimes_RC'$, в котором

$(C\otimes_RC')_n=\underset{p+q=n}{\oplus}C_p\otimes_RC'_q$

и $d_n$ из $(C\otimes_RC')_n$ в $(C\otimes_RC')_{n-1}$ определено формулой

$d_n(x\otimes y)=d_px\otimes y+ (-1)^px\otimes d_qy$, для любых $x \in C_p$, $y\in C'_q,\ p+q=n$.

См. также

Литература

1) complex
2) , 5) левых, правых или бимодулей
3) differential map
4) cochain complex
6) subcomplex
7) factor complex
8) tensor product
glossary/homology/complex.txt · Последние изменения: 09.02.2012 15:27:17 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0