Содержание
Комплекс
Комплексы
Пусть — ассоциативное кольцо.
Определение 1. Комплекс1) модулей2) над кольцом
— это последовательность модулей
и их гомоморфизмов
,
удовлетворяющих условию для всех
. Гомоморфизм
называется дифференциалом комплекса3).
Рассматривают также комплексы с возрастающей нумерацией индексов, которые называют коцепными. Коцепной комплекс легко превратить в цепной, полагая и
.
Определение 1'. (Коцепной) комплекс4) модулей5) над кольцом
— это последовательность модулей
и их гомоморфизмов
,
удовлетворяющих условию для всех
.
Пример 1. Пусть — произвольный
-модуль. Положим
для всех целых
и
. Пусть
— нулевой гомоморфизм:
.
Очевидно, что — комплекс.
Определение 2. Комплекс называется неотрицательным, если
для всех
.
Определение 3. Комплекс называется свободным, если свободен каждый из модулей . Аналогичным образом определяются понятия «проективный комплекс» —
проективен, «инъективный комплекс» —
инъективен, «плоский комплекс» —
плоский.
Подкомплексы и факторкомплексы
Определение 4. Подкомплексом6) комплекса называется набор
-подмодулей
, удовлетворяющих условию
, вместе с гомоморфизмами-ограничениями
.
Определение 5. Пусть — подкомплекс комплекса
. Факторкомплексом7)
-модулей называется комплекс
, где
— дифференциал, индуцированный отображением
.
Операции над комплексами
Сдвиг комплекса
Пусть — комплекс левых
-модулей.
Определение 6. -м сдвигом комплекса
называется комплекс
, для которого
и
.
Тензорное произведение комплексов
Пусть — комплекс правых
-модулей,
— комплекс левых
-модулей.
Определение 7. Тензорным произведением8) неотрицательных комплексов и
называется комплекс
-модулей
, в котором
и из
в
определено формулой
, для любых
,
.