Проективный модуль

Определение проективного модуля

Пусть $A$ — ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Модуль¹⁾ $P$ над кольцом $A$ называется проективным²⁾, если для любого гомоморфизма $A$ -модулей³⁾ $f:P\rightarrow M''$ и любого сюръективного гомоморфизма $A$ -модулей $g:M\rightarrow M''$ существует гомоморфизм $A$ -модулей $h:P\rightarrow M$ такой, что $f=g\circ h$ , то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram} \node[3]{P}\arrow[2]{s,r}{f}\arrow[2]{sw,l}{h}\\ \\ \node{M}\arrow[2]{e,b}{g}\node[2]{M''}\arrow[2]{e}\node[2]{0.}\end{diagram}$

Свойства проективных модулей

Предложение 1. Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

Предложение 2. Модуль проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым некоторого свободного модуля.

Предложение 3. Для любого модуля $M$ существует точная последовательность $0\rightarrow N\rightarrow P\rightarrow M\rightarrow 0$ с проективным модулем $P$ .

Предложение 4. Модуль $P$ проективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность модулей $0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow P\rightarrow 0$ расщепляема.

Примеры

Ассоциативное кольцо $A$ можно рассматривать как левый модуль над собой. Тогда $A$ является проективным левым модулем. Для произвольной точной последовательности $M\xrightarrow{g} M''\rightarrow 0$ и любого гомоморфизма левых $A$ -модулей $f:A\rightarrow M''$ можно задать гомоморфизм $h:A\rightarrow M$ по правилу $h(1)=m$ , где $g(m)=f(1)$ .