Инъективный модуль

Определение инъективного модуля

Пусть $A$ — ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Модуль¹⁾ $Q$ над кольцом $A$ называется инъективным²⁾, если для любого гомоморфизма $A$ -модулей $f\colon N'\rightarrow Q$ и любого инъективного гомоморфизма $A$ -модулей $g\colon N'\rightarrow N$ существует гомоморфизм $A$ -модулей $h\colon N\rightarrow Q$ такой, что $f=h\circ g$ , то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node{0}\arrow[2]{e}\node[2]{N'}\arrow[2]{e,t}{g}\arrow[2]{s,l}{f}\node[2]{N}\arrow[2]{sw,r}{h}\\ \\ \node[3]{Q.}\end{diagram}$

Свойства инъективных модулей

Предложение 1. Прямое произведение модулей инъективно тогда и только тогда, когда инъективен каждый сомножитель.

Предложение 2. Левый модуль $Q$ инъективен тогда и только тогда, когда для каждого левого идеала $I$ кольца $A$ и гомоморфизма левых $A$ -модулей $f\colon I\rightarrow Q$ существует такой элемент $g\in Q$ , что $f(x)=xg$ для любого $x\in I$ .

Предложение 2'. Правый модуль $Q$ инъективен тогда и только тогда, когда для каждого правого идеала $I$ кольца $A$ и гомоморфизма правых $A$ -модулей $f\colon I\rightarrow Q$ существует такой элемент $g\in Q$ , что $f(x)=gx$ для любого $x\in I$ .

Предложение 3. Для любого модуля $N$ существует точная последовательность $0\rightarrow N\rightarrow Q\rightarrow M\rightarrow 0$ с инъективным модулем $Q$ .

Предложение 4. Модуль $Q$ инъективен тогда и только тогда, когда любая точная последовательность $A$ -модулей $0\rightarrow Q\rightarrow N\rightarrow N''\rightarrow 0$ расщепляема.

Примеры

Абелева группа $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ как левый модуль над кольцом $\mathbb{Z}$ инъективна.
$A$ -модуль $\textrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(A,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ ³⁾ является инъективным.