Стандартный комплекс

Определение

Пусть $A$ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом $K$.

Определение 1. Пусть $C'_n=A^{\otimes(n+2)}$$(n+2)$-кратное тензорное произведение и $d'_n\colon C'_n\rightarrow C'_{n-1}$гомоморфизм $K$-модулей, определенный формулой

$d'_n(a_0\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^na_0\otimes a_1\otimes\ldots\otimes a_ia_{i+1}\otimes\ldots\otimes a_n$.

Комплекс

$\ldots\stackrel{d'_{n+1}}{\longrightarrow}A^{\otimes (n+2)}\stackrel{d'_n}{\longrightarrow}A^{\otimes n}\stackrel{d'_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d'_1}{\longrightarrow}A^{\otimes 2}$

называется стандартным комплексом1) алгебры $A$.

Предложение 1. Если $A$проективный $K$-модуль и $\mu\colon A\otimes A\rightarrow A$ — умножение в $A$, то пара $(C',\mu)$левая резольвента модуля $A$, то есть точна последовательность

$\ldots\stackrel{d'_{n+1}}{\longrightarrow}A^{\otimes (n+2)}\stackrel{d'_n}{\longrightarrow}A^{\otimes n}\stackrel{d'_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d'_1}{\longrightarrow}A^{\otimes 2}\stackrel{\mu}{\longrightarrow}A\rightarrow0$.

Гомологии ассоциативной алгебры

Определение 2. Гомологии стандартного комплекса алгебры $A$ называют гомологиями ассоциативной $K$-алгебры2) $A$ и обозначают $H_*(A,A)$.

См. также

Литература

  • Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.
1) bar complex
2) homology of associative algebra
glossary/homology/complex/bar.txt · Последние изменения: 09.02.2012 16:22:11 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0