Тензорное произведение модулей

проверено

Пусть — ассоциативное кольцо с единицей, — правый унитарный модуль над , — левый унитарный модуль над .

Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу , порожденную всеми парами , где . Пусть — подгруппа в , порожденная элементами вида

где , . Тензорным произведением¹⁾ модулей и над кольцом называется факторгруппа .

Элементы обозначаются символом , или .

Предложение 1. Тензорное произведение является абелевой группой, или что то же самое, левым унитарным модулем над кольцом целых чисел .

Предложение 2. Операция тензорного произведения удовлетворяет следующим свойствам

1. для всех и ;
2. для всех и ;
3. для всех , и .

Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, и — левые унитарные модули над .

Определение 1. Рассмотрим свободную абелеву группу , порожденную всеми парами , где . Пусть — подгруппа в , порожденная элементами вида

где , . Тензорным произведением²⁾ модулей и над кольцом называется факторгруппа .

Элементы обозначаются символом , или .

Предложение 3. Тензорное произведение является левым унитарным модулем над кольцом .

Предложение 4. Операция тензорного произведения удовлетворяет следующим свойствам

1. для всех и ;
2. для всех и ;
3. для всех , и .

• Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.
• Ламбек И. «Кольца и модули», Факториал, 2005.