Комплекс

Комплексы

Определение 1. Комплекс¹⁾ $C$ модулей²⁾ над кольцом $R$ — это последовательность модулей $\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}$ и их гомоморфизмов

$\ldots\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}C_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}C_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d_2}{\longrightarrow}C_1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}C_0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\longrightarrow}\ldots$ ,

удовлетворяющих условию $d_{n-1}\circ d_n=0$ для всех $n\in\mathbb{Z}$ . Гомоморфизм $d_n$ называется дифференциалом комплекса³⁾.

Рассматривают также комплексы с возрастающей нумерацией индексов, которые называют коцепными. Коцепной комплекс легко превратить в цепной, полагая $C_n=C^{-n}$ и $d_n=d^{-n+1}$ .

Определение 1'. (Коцепной) комплекс⁴⁾ $C$ модулей⁵⁾ над кольцом $R$ — это последовательность модулей $\{C_n,n\in\mathbb{Z}\}$ и их гомоморфизмов

$\ldots\stackrel{d^{-1}}{\longrightarrow}C^0\stackrel{d^0}{\longrightarrow}C^1\stackrel{d^1}{\longrightarrow}\ldots\stackrel{d^{n-2}}{\longrightarrow}C^{n-1}\stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\stackrel{d^n}{\longrightarrow}C^{n+1}\stackrel{d^{n+1}}{\longrightarrow}\ldots$ ,

удовлетворяющих условию $d_{n+1}\circ d_n=0$ для всех $n\in\mathbb{Z}$ .

Пример 1. Пусть $M$ — произвольный $R$ -модуль. Положим $C_n=0$ для всех целых $n\neq0$ и $C_0=M$ . Пусть $d_n=0$ — нулевой гомоморфизм:

$\ldots\rightarrow0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\ldots$ .

Очевидно, что $C$ — комплекс.

Определение 2. Комплекс $C$ называется неотрицательным, если $C_{-n}=0$ для всех $n>0$ .

Определение 3. Комплекс называется свободным, если свободен каждый из модулей $C_n$ . Аналогичным образом определяются понятия «проективный комплекс» — $C_n$ проективен, «инъективный комплекс» — $C_n$ инъективен, «плоский комплекс» — $C_n$ плоский.

Подкомплексы и факторкомплексы

Определение 4. Подкомплексом⁶⁾ комплекса $C=\{C_n,d_n\}$ называется набор $R$ -подмодулей $E_n\subseteq C_n$ , удовлетворяющих условию $d_n(E_n)\subseteq E_{n+1}$ , вместе с гомоморфизмами-ограничениями $d_{n|E_n}$ .

Определение 5. Пусть $E$ — подкомплекс комплекса $C$ . Факторкомплексом⁷⁾ $R$ -модулей называется комплекс $C/E=\{C_n/E_n,d_n\}$ , где $d_n\colon C_n/E_n\rightarrow C_{n-1}/E_{n-1}\colon \overline{c}\mapsto \overline{d_n(c)}$ — дифференциал, индуцированный отображением $d_n\colon C_n\rightarrow C_{n-1}$ .

Операции над комплексами

Сдвиг комплекса

Пусть $C$ — комплекс левых $R$ -модулей.

Определение 6. $p$ -м сдвигом комплекса $C$ называется комплекс $C[p]$ , для которого $C[p]_n=C_{p+n}$ и $d[p]_n=(-1)^pd_{n+p}$ .

Тензорное произведение комплексов

Пусть $C$ — комплекс правых $R$ -модулей, $C'$ — комплекс левых $R$ -модулей.

Определение 7. Тензорным произведением⁸⁾ неотрицательных комплексов $C$ и $C'$ называется комплекс $\mathbb{Z}$ -модулей $C\otimes_RC'$ , в котором