Точная последовательность модулей

Определение

Пусть $R$ассоциативное кольцо и $M_1,\ldots,M_n$модули1) над $R$.

Определение 1. Последовательность $ R $-модулей и их гомоморфизмов $M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{i-1}}{\rightarrow}M_{i}\stackrel{\varphi_{i}}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\rightarrow}M_n$ называется точной в члене2) $ i $, если $\textrm{ker}~\varphi_i=\textrm{im}~\varphi_{i-1}$.

Определение 2. Последовательность $ R $-модулей и их гомоморфизмов $M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\rightarrow}M_n$ называется точной3), если она точна в каждом члене.

Предложение 1. Последовательность вида $0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi}{\rightarrow}M_2$ точна тогда и только тогда, когда $\varphi$мономорфизм модулей.

Предложение 2. Последовательность вида $M_1\stackrel{\varphi}{\rightarrow}M_2\rightarrow 0$ точна тогда и только тогда, когда $\varphi$эпиморфизм модулей.

Определение 3. Точная последовательность $ R $-модулей $0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}M_3\rightarrow0$ называется короткой точной последовательностью4). При этом модуль $M_2$ называется расширением5) $M_3$ при помощи $M_1$.

Определение 4. Короткая точная последовательность $ R $-модулей $0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}M_3\rightarrow0$ называется расщепляемой6), если $\textrm{im}~\varphi_1$ выделяется прямым слагаемым в $M_2$.

Литература

1)
левые, правые или бимодули
2)
exact for
3)
exact sequence
4)
short exact sequence
5)
extension of module
6)
splittable
glossary/module/left/sequence/exact.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:55:39 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0