Точная последовательность модулей
Определение
Пусть — ассоциативное кольцо и — модули1) над .
Определение 1. Последовательность -модулей и их гомоморфизмов называется точной в члене2) , если .
Определение 2. Последовательность -модулей и их гомоморфизмов называется точной3), если она точна в каждом члене.
Предложение 1. Последовательность вида точна тогда и только тогда, когда — мономорфизм модулей.
Предложение 2. Последовательность вида точна тогда и только тогда, когда — эпиморфизм модулей.
Определение 3. Точная последовательность -модулей называется короткой точной последовательностью4). При этом модуль называется расширением5) при помощи .
Определение 4. Короткая точная последовательность -модулей называется расщепляемой6), если выделяется прямым слагаемым в .
Литература
- Картан А., Эйленберг С. «Гомологическая алгебра», Иностранная литература, 1960.
1)
левые, правые или бимодули
2)
exact for
3)
exact sequence
4)
short exact sequence
5)
extension of module
6)
splittable