Системы корней

Система корней

Определение 1. Подмножество $R$ векторного пространства $V$ называется системой корней1) в $V$, если выполнены следующие условия:

  1. множество $R$ конечно, не содержит нулевого вектора и порождает пространство $V$;
  2. если $\alpha\in R$, то $-\alpha\in R$ и отражение $s_{\alpha}$ переводит $R$ в себя;
  3. если $\alpha,\beta\in R$, то $s_{\alpha}(\beta)-\beta=n\alpha$, где $n\in\mathbb{Z}$.

Элементы множества $R$ называются корнями2).

Определение 2. Система корней называется приведенной, если для каждого корня $\alpha\in R$ множество $R$ не содержит корней, кратных $\alpha$, кроме $\pm\alpha$.

Определение 3. Рангом системы корней называется размерность векторного пространства $V$.

Классификация приведенных систем корней

Группа Вейля

Определение 4. Множество $\{s_{\alpha}|\alpha\in R\}$ порождает подгруппу в группе $GL(V)$ невырожденных преобразований пространства $V$. Данная подгруппа обозначается через $W(R)$ и называется группой Вейля3) системы $R$.

Предложение 1. Группа Вейля $W(R)$ изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы. В частности, группа Вейля конечна.

Литература

1) root system
2) root
3) Weyl group of a root system
glossary/system/root.txt · Последние изменения: 29.08.2014 20:59:56 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0