Отражения

Отражение

Пусть $V$векторное пространство над полем $F=\mathbb{R}$ или $F=\mathbb{Q}$.

Определение 1. Эндоморфизм $s$ векторного пространства $V$ называется отражением1), если

  1. множество $H$ элементов пространства $V$, инвариантных относительно $s$, является гиперплоскостью в $V$,
  2. $s^2=1$2).

При этом $H$ называется гиперплоскостью отражения3) $s$.

Предложение 1. Отражение в $V$ однозначно определяется заданием гиперплоскости $H$ и вектора $\alpha\in V$, не лежащим в $H$. При этом данное отражение обозначается через $s_{\alpha}$.

Предложение 2. Пусть $\alpha^*$ — элемент двойственного пространства $V^*$ такой, что

  1. $\alpha^*(H)=0$ и
  2. $\alpha^*(\alpha)=2$,

тогда $s_{\alpha}(x)=x-\alpha^*(x)\alpha$ для всех $x\in V$.

Отражения в евклидовом пространстве

Частным случаем отражений являются ортогональные отражения в евклидовом пространстве $E$ со скалярным произведением $(,)$.

Предложение 3. Каждый ненулевой вектор $\alpha\in E$ определяет отражение $s_{\alpha}$ с гиперплоскостью отражения $H=\{\beta\in E|(\alpha,\beta)=0\}$ по следующей формуле:

$s_{\alpha}(\beta)=\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$.

Введем обозначение $\langle\beta,\alpha\rangle=2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}$, тогда

$s_{\alpha}(\beta)=\beta-\langle\beta,\alpha\rangle\alpha$.

См. также

Литература

1) reflection
2) то есть $s\circ s=\textrm{id}_V$
3) hyperplane of reflection
glossary/system/root/reflection.txt · Последние изменения: 29.08.2014 00:14:16 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0