Содержание
Скалярное произведение
проверено. буква E смотрится странно
Скалярное произведение
Определение 1. Пусть — векторное пространство над полем или . Билинейная форма называется скалярным произведением1), если выполнены условия:
- Симметричность: для всех ;
- Положительная определенность: для всех , и обращается в нуль, лишь если .
Часто для скалярного произведения векторов и вместо используют обозначение или .
Пример 1. На пространстве непрерывных функций можно задать скалярное произведение .
Пример 2. На пространстве скалярное произведение задается формулой: , где и — разложение векторов по стандартному базису .
Евклидово пространство
Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем с фиксированным скалярным произведением .
Пример 3. Пространство является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.
Определение 3. Пусть — евклидово пространство. Для любого число называется длиной, или нормой вектора .
Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов из евклидова пространства справедливо неравенство
.
Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке вещественнозначных функций3), неравенство Коши-Буняковского имеет вид
.
Определение 4. Векторы из евклидова пространства называются ортогональными4), если .