Линейное нормированное пространство

проверено

Определение

Определение 1. Линейное пространство $V$ над полем $F=\mathbb{Q},\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ называется нормированным¹⁾, если выполнены следующие два требования:

Имеется правило, посредством которого каждому элементу $a\in V$ ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой²⁾ указанного элемента и обозначаемого символом $\lVert a\rVert$ .
Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1. $\lVert a\rVert\geqslant 0$ , причем $\lVert a\rVert=0$ тогда и только тогда, когда $a=0$ .
2. $\lVert\lambda a\rVert=\lvert\lambda\rvert\lVert a\rVert$ для любых $a\in V$ и $\lambda\in F$ .
3. Для любых двух элементов $a$ и $b$ справедливо неравенство треугольника $\lVert a+b\rVert\leqslant\lVert a\rVert+\lvert b\rVert$ .

Предложение 1. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента $a$ определить равенством $\lVert a\rVert=\sqrt{(a,a)}$ .

Пример 1. Рассмотрим векторное пространство $\mathbb{R}^3$ . Число $\sqrt{(a,a)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ является нормой элемента $a$ в $\mathbb{R}^3$ .