Скалярное произведение векторов в пространстве

Определение 2. Скалярным произведением¹⁾ двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается . Таким образом,

где — угол между векторами и .

Предложение 1. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность: для любых векторов и .
2. Ассоциативность: для любого действительного чиспа и любых векторов и .
3. Дистрибутивность: для любых векторов , и .
4. Положительная определенность: для любого вектора , причем в том и только том случае, когда .

Замечание 1. Выполнение условий предложения 1 означает, что операция является скалярным произведением в более общем смысле.

Предложение 2. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Предложение 3. Для любых ненулевых векторов и

1. угол между и острый тогда и только тогда, когда ;
2. угол между и тупой тогда и только тогда, когда

Предложение 4. Для любого вектора имеет место равенство .

Предложение 5. Пусть базисные векторы , , ортогональны, тогда координаты вектора в этом базисе находятся по формулам:

В частности, в ортонормированном базисе

Предложение 6. Векторы , , , составляющие ортонормированный базис в декартовой системе координат, удовлетворяют следующим условиям:

1. , ,
2. , ,

Предложение 7. Пусть в декартовой системе координат и , тогда их скалярное произведение находится по формуле:

Предложение 8. В декартовой системе координат длина вектора равна

Предложение 9. В декартовой системе координат угол между векторами и определяется формулой:

• Скалярное произведение

• Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Физматлит, 2008.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.