Системы корней

Пусть — векторное пространство над полем или .

Определение 1. Подмножество векторного пространства называется системой корней¹⁾ в , если выполнены следующие условия:

1. множество конечно, не содержит нулевого вектора и порождает пространство ;
2. если , то и отражение переводит в себя;
3. если , то , где .

Элементы множества называются корнями²⁾.

Определение 2. Система корней называется приведенной, если для каждого корня множество не содержит корней, кратных , кроме .

Определение 3. Рангом системы корней называется размерность векторного пространства .

Определение 4. Множество порождает подгруппу в группе невырожденных преобразований пространства . Данная подгруппа обозначается через и называется группой Вейля³⁾ системы .

Предложение 1. Группа Вейля изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы. В частности, группа Вейля конечна.

• Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.
• Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.
• Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.