Содержание

Аффинное алгебраическое множество

Аффинное алгебраическое множество

Определение

Определение 1. Пусть $\textbf{A}^n$ — $n$ -мерное аффинное пространство над полем $F$ , и пусть $F[T_1,\ldots,T_n]$ — кольцо многочленов от $n$ переменных над $F$ . Для произвольного подмножества $S\subset F[T_1,\ldots,T_n]$ пусть

$Z(S)=\{P\in\textbf{A}^n\vert f(P)=0~\forall f\in S\}$ — множество общих нулей подмножества $S$ .

Подмножество $X\subset\textbf{A}^n$ называется аффинным алгебраическим множеством¹⁾, если $X=Z(S)$ для некоторого $S\subset F[T_1,\ldots,T_n]$ .

Вместо множества $S$ достаточно рассмотреть идеал $(S)\triangleleft F[T_1,\ldots,T_n]$ , порожденный $S$ , поскольку $Z((S))=Z(S)$ . Более того, можно ограничиться конечными системами множеств $S$ , так как всякий идеал кольца $A$ является конечно порожденным²⁾, и в качестве $S$ можно взять множество образующих идеала.

Пример 1. Точка $a=(a_1,\ldots,a_n)\in\textbf{A}^n$ является аффинным алгебраическим множеством, поскольку является множеством нулей идеала $(T_1-a_1,\ldots,T_n-a_n)$ кольца многочленов $F[T_1,\ldots,T_n]$ .

Пример 2. Окружность $S^1=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$ — аффинное алгебраическое множество в $\textbf{A}^2$ , так как является можеством нулей многочлена $T_1^2+T_2^2-1$ .

Заметим также, что <latex>Z</latex> является функцией, отображающей подмножества из <latex>F[T_1,\ldots,T_n]</latex> в аффинные алгебраические множества. Обратно, можно ввести функцию <latex>I</latex>, отображающую подмножества из <latex>\textbf{A}^n</latex> в идеалы кольца <latex>F[T_1,\ldots,T_n]</latex>, полагая <latex>I(X)=\{f\in F[T_1,\ldots,T_n]\vert f(P)=0~\forall P\in X\}</latex> для произвольного <latex>X\in\textbf{A}^n</latex>.

Регулярные функции

Определение 2. Пусть $X\subset\textbf{A}^n$ — аффинное алгебраическое множество, $I(X)=\{f\in F[T_1,\ldots,T_n]\vert f(P)=0~\forall P\in X\}$ — соответствующий ему идеал. Факторкольцо $F[X]=F[T_1,\ldots,T_n]/I(X)$ называется координатным кольцом аффинного алгебраического множества $X$ , или аффинным координатным кольцом множества $X$ . Элементы кольца $F[X]$ называются регулярными функциями³⁾ на $X$ .

Пример 3. Координатным кольцом точки (см. пример 1) является поле $F$ , так как $F[T_1,\ldots,T_n]/(T_1-a_1,\ldots,T_n-a_n)\cong F$ .

Определение 3. Аффинное алгебраическое множество $X$ называется неприводимым⁴⁾, если из того, что $X=X_1\cup X_2$ , где $X_1$ и $X_2$ — аффинные алгебраические множества, следует, что $X_1=\emptyset$ или $X_2=\emptyset$ .

Пример 4. Аффинные алгебраические множества из примеров 1 и 2 неприводимы.

Предложение 1. Неприводимые аффинные алгебраические множества находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами кольца $F[T_1,\ldots,T_n]$ .

Пример 5. Множество нулей многочлена $f=T_1T_2$ кольца $F[T_1,T_2]$ приводимо, так как идеал $(T_1T_2)$ не прост.

Свойства

Предложение 2. Пусть $F$ — алгебраически замкнутое поле. Тогда

если $S_1\subset S_2$ — подмножества в $A$ , то $Z(S_1)\supset Z(S_2)$ ;
если $X_1\subset X_2$ — подмножества в $\textbf{A}^n$ , то $I(X_1)\supset I(X_2)$ ;
для любых двух подмножеств $X_1,X_2$ из $\textbf{A}^n$ имеет место соотношение $I(X_1\cup X_2)=I(X_1)\cap I(X_2)$ ;
для любого идеала $\mathfrak{a}\subset F[T_1,\ldots,T_n]$ имеем $I(Z(\mathfrak{a}))=\sqrt{\mathfrak{a}}$ , где $\sqrt{\mathfrak{a}}$ — радикал идеала $\mathfrak{a}$ ;
для любого подмножества $X\subset\textbf{A}^n$ имеем $Z(I(X))=\overline{X}$ , где $\overline{X}$ — замыкание $X$ в $\textbf{A}^n$ .

Предложение 3. Пусть поле $F$ алгебраически замкнуто, тогда между аффинными алгебраическими множествами в $\textbf{A}^n$ и радикальными идеалами кольца $F[T_1,\ldots,T_n]$ существует взаимно однозначное соответствие, заданное отображениями $Y\mapsto I(Y)$ и $\mathfrak{a}\mapsto Z(\mathfrak{a})$ .

Теорема Гильберта о нулях

Предложение 4. (Теорема Гильберта о нулях) Пусть $F$ — алгебраически замкнутое поле, $\mathfrak{a}$ — идеал в кольце $F[T_1,\ldots,T_n]$ и $f\in F[T_1,\ldots,T_n]$ — многочлен, обращающийся в нуль во всех точках из $Z(\mathfrak{a})$ . Тогда $f^r\in\mathfrak{a}$ для некоторого целого числа $r\geqslant 0$ .