Содержание
Аффинное алгебраическое множество
Определение
Определение 1. Пусть —
-мерное аффинное пространство над полем
, и пусть
— кольцо многочленов от
переменных над
. Для произвольного подмножества
пусть
— множество общих нулей подмножества
.
Подмножество называется аффинным алгебраическим множеством1), если
для некоторого
.
Вместо множества достаточно рассмотреть идеал
, порожденный
, поскольку
. Более того, можно ограничиться конечными системами множеств
, так как всякий идеал кольца
является конечно порожденным2), и в качестве
можно взять множество образующих идеала.
Пример 1. Точка является аффинным алгебраическим множеством, поскольку является множеством нулей идеала
кольца многочленов
.
Пример 2. Окружность — аффинное алгебраическое множество в
, так как является можеством нулей многочлена
.
Заметим также, что <latex>Z</latex> является функцией, отображающей подмножества из <latex>F[T_1,\ldots,T_n]</latex> в аффинные алгебраические множества. Обратно, можно ввести функцию <latex>I</latex>, отображающую подмножества из <latex>\textbf{A}^n</latex> в идеалы кольца <latex>F[T_1,\ldots,T_n]</latex>, полагая <latex>I(X)=\{f\in F[T_1,\ldots,T_n]\vert f(P)=0~\forall P\in X\}</latex> для произвольного <latex>X\in\textbf{A}^n</latex>.
Регулярные функции
Определение 2. Пусть — аффинное алгебраическое множество,
— соответствующий ему идеал. Факторкольцо
называется координатным кольцом аффинного алгебраического множества
, или аффинным координатным кольцом множества
. Элементы кольца
называются регулярными функциями3) на
.
Пример 3. Координатным кольцом точки (см. пример 1) является поле , так как
.
Определение 3. Аффинное алгебраическое множество называется неприводимым4), если из того, что
, где
и
— аффинные алгебраические множества, следует, что
или
.
Пример 4. Аффинные алгебраические множества из примеров 1 и 2 неприводимы.
Предложение 1. Неприводимые аффинные алгебраические множества находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами кольца .
Пример 5. Множество нулей многочлена кольца
приводимо, так как идеал
не прост.
Свойства
Предложение 2. Пусть — алгебраически замкнутое поле. Тогда
- если
— подмножества в
, то
;
- если
— подмножества в
, то
;
- для любых двух подмножеств
из
имеет место соотношение
;
Предложение 3. Пусть поле алгебраически замкнуто, тогда между аффинными алгебраическими множествами в
и радикальными идеалами кольца
существует взаимно однозначное соответствие, заданное отображениями
и
.
Теорема Гильберта о нулях
Предложение 4. (Теорема Гильберта о нулях) Пусть — алгебраически замкнутое поле,
— идеал в кольце
и
— многочлен, обращающийся в нуль во всех точках из
. Тогда
для некоторого целого числа
.