Радикальный идеал

проверено

Определение

Пусть $R$ассоциативное коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Пусть $I$идеал кольца $R$. Радикалом идеала1) $I$ называется множество

$\sqrt{I}=\{r\in R\vert\exists n\geqslant 0:r^n\in I\}$.

Предложение 1. Пусть $I$ — идеал кольца $R$. Радикал идеала $\sqrt{I}$ обладает следующими свойствами:

  1. $\sqrt{I}$ — идеал в $R$;
  2. $I\subseteq\sqrt{I}$;
  3. $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$.

Пример 1. Пусть $R=F[T]$кольцо многочленов от одной переменной. Радикал идеала $(T^2)$ равен $\sqrt{(T^2)}=(T)$.

Определение 2. Идеал $I$ кольца $R$, совпадающий со своим радикалом $\sqrt{I}$ называется радикальным идеалом2).

Пример 2. Пусть $R=F[T]$ — кольцо многочленов от одной переменной. Идеал $(T)$ является радикальным.

Литература

  • Зарисский О., Самюэль П. «Коммутативная алгебра», Иностранная литература, 1963.
1)
radical of ideal
2)
radical ideal
glossary/ring/ideal/radical.txt · Последние изменения: 07.10.2011 21:02:04 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0