Содержание
Квадратичная форма на векторном пространстве
Определение
Пусть — векторное пространство над полем характеристики .
В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом.
Определение 1. Квадратичной формой1) на векторном пространстве называется отображение , определяемое некоторой симметричной билинейной формой на :
для всех .
Билинейная форма при этом называется полярной2) к квадратичной форме .
Замечание. Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьи Квадратичная форма. Но верно и обратное, если — квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая , мы убеждаемся, что . Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на .
Матрица квадратичной формы
Определение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве . Матрицей квадратичной формы3) относительно базиса пространства называется матрица билинейной формы , где — полярная к билинейная форма, то есть
, где .
Если в базисе вектор имеет разложение , то
.
Определение 3. Рангом квадратичной формы4) называется ранг матрицы в некотором базисе.
Предложение 1. Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве .
Определение 4. Говорят, что квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве имеет в базисе канонический вид5), если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональна, то есть для каждого вектора .
Предложение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве над полем . Тогда в существует базис , в котором имеет канонический вид
.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
В процессе…