Квадратичная форма на векторном пространстве

Определение

Пусть $V$векторное пространство над полем $F$ характеристики $\textrm{char}~F\neq2$.

В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом.

Определение 1. Квадратичной формой1) на векторном пространстве $V$ называется отображение $q\colon V\rightarrow F$, определяемое некоторой симметричной билинейной формой $f$ на $V$:

$q(v)=f(v,v)$ для всех $v\in V$.

Билинейная форма $f$ при этом называется полярной2) к квадратичной форме $q$.

Замечание. Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьи Квадратичная форма. Но верно и обратное, если $q'$ — квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая $f(u,v)=1/2\varphi(u,v)=1/2(q'(u+v)-q'(u)-q'(v))$, мы убеждаемся, что $q(v)=f(v,v)=q'(v)$. Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на $V$.

Матрица квадратичной формы

Определение 2. Пусть $q$ — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве $V$. Матрицей квадратичной формы3) $q$ относительно базиса $\{e_1,\ldots,e_n\}$ пространства $V$ называется матрица билинейной формы $f$, где $f$ — полярная к $q$ билинейная форма, то есть

$A_q=A_f=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$, где $a_{ij}=f(e_i,e_j)$.

Если в базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ вектор $v$ имеет разложение $v=v_1e_1+v_2e_2+\ldots+v_ne_n$, то

$q(v)=f(v,v)=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & \ldots & v_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ \ldots\\ v_n\end{pmatrix}=\sum_{i,j}a_{ij}v_iv_j$.

Определение 3. Рангом квадратичной формы4) $q$ называется ранг матрицы $A_q$ в некотором базисе.

Предложение 1. Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве $V$.

Определение 4. Говорят, что квадратичная форма $ q $ на конечномерном векторном пространстве $V$ имеет в базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ канонический вид5), если матрица $A_q=(a_{ij})$ квадратичной формы в этом базисе диагональна, то есть $q(v)=\sum_ia_{ii}v_i^2$ для каждого вектора $v=v_1e_1+\ldots+v_ne_n\in V$.

Предложение 2. Пусть $q$ — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$. Тогда в $V$ существует базис $\{e_1,\ldots,e_n\}$, в котором $q$ имеет канонический вид

$q(v)=\lambda_1v_1^2+\ldots+\lambda_nv_n^2$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Конструктивное построение такого базиса приводится ниже.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

В процессе…

См. также

Литература

1) quadratic form
2) polar form
3) matrix of quadratic form
4) quadratic form rank
5) canonical form
glossary/mapping/form/quadratic/linear_space.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:12:00 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0