Содержание
Квадратичная форма на векторном пространстве
Определение
Пусть — векторное пространство над полем
характеристики
.
В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом.
Определение 1. Квадратичной формой1) на векторном пространстве называется отображение
, определяемое некоторой симметричной билинейной формой
на
:
для всех
.
Билинейная форма при этом называется полярной2) к квадратичной форме
.
Замечание. Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьи Квадратичная форма. Но верно и обратное, если — квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая
, мы убеждаемся, что
. Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на
.
Матрица квадратичной формы
Определение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве
. Матрицей квадратичной формы3)
относительно базиса
пространства
называется матрица билинейной формы
, где
— полярная к
билинейная форма, то есть
, где
.
Если в базисе вектор
имеет разложение
, то
.
Определение 3. Рангом квадратичной формы4) называется ранг матрицы
в некотором базисе.
Предложение 1. Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве .
Определение 4. Говорят, что квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве
имеет в базисе
канонический вид5), если матрица
квадратичной формы в этом базисе диагональна, то есть
для каждого вектора
.
Предложение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве
над полем
. Тогда в
существует базис
, в котором
имеет канонический вид
.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
В процессе…