Характеристика поля

проверено

Характеристика кольца

Пусть $A$коммутативная область целостности.

Определение 1. Рассмотрим гомоморфизм колец $\varphi\colon\mathbb{Z}\rightarrow A$1). Если ядро $\ker\varphi=0$, то говорят, что $A$кольцо нулевой характеристики2). Если ядро $\ker\varphi=p\mathbb{Z}=\{pn|n\in\mathbb{Z}\}$, то говорят, что $A$кольцо простой характеристики3) $p$. При этом используют обозначения $\textrm{char}~A=0$ или $\textrm{char}~A=p$.

Замечание 1. Так как $A$ — область целостности, то в случае, когда ядро гомоморфизма $\ker\varphi=p\mathbb{Z}$, число $p$ является простым.

Замечание 2. Каждое поле $F$ является областью целостности, поэтому имееют смысл понятия поля характеристики нуль4) и поля простой характеристики5) $p$.

Простое поле

Определение 2. Поле, не имеющее собственного подполя, называется простым6).

Предложение 1. Поле $F$ является простым тогда и только тогда, когда $F\cong\mathbb{Q}$ или $F\cong\mathbb{Z}_p$ для некоторого простого $p$.

Предложение 2. В каждом поле $F$ содержится ровно одно простое поле.

Предложение 3. Характеристика поля $F$ равна $p$ тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле $\mathbb{Z}_p$. Характеристика поля $F$ равна нулю тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле $\mathbb{Q}$.

Литература

1) определенный однозначно соотношением $\varphi(1)=1$
2) ring of characteristic 0
3) ring of prime characteristic
4) field of characteristic 0
5) field of prime characteristic
6) prime field
glossary/field/characteristic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:09:01 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0