Содержание

Характеристика поля

Характеристика поля

проверено

Характеристика кольца

Пусть $A$ — коммутативная область целостности.

Определение 1. Рассмотрим гомоморфизм колец $\varphi\colon\mathbb{Z}\rightarrow A$ ¹⁾. Если ядро $\ker\varphi=0$ , то говорят, что $A$ — кольцо нулевой характеристики²⁾. Если ядро $\ker\varphi=p\mathbb{Z}=\{pn|n\in\mathbb{Z}\}$ , то говорят, что $A$ — кольцо простой характеристики³⁾ $p$ . При этом используют обозначения $\textrm{char}~A=0$ или $\textrm{char}~A=p$ .

Замечание 1. Так как $A$ — область целостности, то в случае, когда ядро гомоморфизма $\ker\varphi=p\mathbb{Z}$ , число $p$ является простым.

Замечание 2. Каждое поле $F$ является областью целостности, поэтому имееют смысл понятия поля характеристики нуль⁴⁾ и поля простой характеристики⁵⁾ $p$ .

Простое поле

Определение 2. Поле, не имеющее собственного подполя, называется простым⁶⁾.

Предложение 1. Поле $F$ является простым тогда и только тогда, когда $F\cong\mathbb{Q}$ или $F\cong\mathbb{Z}_p$ для некоторого простого $p$ .

Предложение 2. В каждом поле $F$ содержится ровно одно простое поле.

Предложение 3. Характеристика поля $F$ равна $p$ тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле $\mathbb{Z}_p$ . Характеристика поля $F$ равна нулю тогда и только тогда, когда оно содержит простое поле $\mathbb{Q}$ .

Литература

абстрактная алгебра, область целостности, поле, простое поле, характеристика кольца, характеристика поля

¹⁾

определенный однозначно соотношением $\varphi(1)=1$

²⁾

ring of characteristic 0

³⁾

ring of prime characteristic

⁴⁾

field of characteristic 0

⁵⁾

field of prime characteristic

⁶⁾

prime field

glossary/field/characteristic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:09:01 — Ладилова Анна

Наверх