

проверено. единицы вроде как не требуется
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,
— (левые)
-модули.1)
Определение 1. Отображение называется билинейным2), если оно
-линейно по каждому аргументу, то есть
Пример 1. Рассмотрим -линейное отображение
, определенное правилом
. Такое отображение является билинейным, что следует из аксиом ассоциативного кольца.
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,
— (левые)
-модули.
Определение 2. Билинейное отображение в кольцо
называется билинейной формой3) на
, а также спариванием4) между
и
.
Замечание. Как правило рассматривается случай, когда , при этом говорят о билинейной форме на
.
Определение 3. Если билинейная форма на модуле
удовлетворяет условию
, то она называется симметрической5).
Определение 4. Если билинейная форма на модуле
удовлетворяет условию
, то она называется кососимметрической6).
В случае, когда и
— свободные
-модули, билинейная форма однозначно определяется своими значениями на базисных элементах модулей.
Определение 5. Пусть и
— конечномерные свободные
-модули с базисами
и
, соответственно. Матрицей билинейной формы7)
называется матрица
, где
.
Предложение 1. Если элементы модулей и
определены координатами в выбранных базисах,
,
, то
.