Содержание

Билинейное отображение

Билинейное отображение

проверено. единицы вроде как не требуется

Определение

Пусть $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо, $M,N,L$ — (левые) $R$ -модули.¹⁾

Определение 1. Отображение $\varphi\colon M\times N\rightarrow L$ называется билинейным²⁾, если оно $R$ -линейно по каждому аргументу, то есть

$\varphi(m_1+m_2,n)=\varphi(m_1,n)+\varphi(m_2,n)$ для $\forall m_1,m_2\in M$ и $\forall n\in N$
$\varphi(rm,n)=r\varphi(m,n)$ для $\forall r\in R$ , $\forall m\in M$ , $\forall n\in N$
$\varphi(m,n_1+n_2)=\varphi(m,n_1)+\varphi(m,n_2)$ для $\forall m\in M$ и $\forall n_1,n_2\in N$
$\varphi(m,rn)=r\varphi(m,n)$ для $\forall r\in R$ , $\forall m\in M$ , $\forall n\in N$

Пример 1. Рассмотрим $R$ -линейное отображение $R\times R\rightarrow R$ , определенное правилом $(r_1,r_2)\mapsto r_1\cdot r_2$ . Такое отображение является билинейным, что следует из аксиом ассоциативного кольца.

Билинейная форма

Пусть $R$ — ассоциативное коммутативное кольцо, $M,N$ — (левые) $R$ -модули.

Определение 2. Билинейное отображение $\varphi\colon M\times N\rightarrow R$ в кольцо $R$ называется билинейной формой³⁾ на $M\times N$ , а также спариванием⁴⁾ между $M$ и $N$ .

Замечание. Как правило рассматривается случай, когда $M=N$ , при этом говорят о билинейной форме на $M$ .

Определение 3. Если билинейная форма $\varphi$ на модуле $M$ удовлетворяет условию $\varphi(m_1,m_2)=\varphi(m_2,m_1)$ , то она называется симметрической⁵⁾.

Определение 4. Если билинейная форма $\varphi$ на модуле $M$ удовлетворяет условию $\varphi(m_1,m_2)=-\varphi(m_2,m_1)$ , то она называется кососимметрической⁶⁾.

Матрица билинейной формы

В случае, когда $M$ и $N$ — свободные $R$ -модули, билинейная форма однозначно определяется своими значениями на базисных элементах модулей.

Определение 5. Пусть $M$ и $N$ — конечномерные свободные $R$ -модули с базисами $\{e_1,\ldots,e_m\}$ и $\{f_1,\ldots,f_n\}$ , соответственно. Матрицей билинейной формы⁷⁾ $\varphi\colon M\times N\rightarrow R$ называется матрица

$A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ , где $a_{ij}=\varphi(e_i,f_j)$ .

Предложение 1. Если элементы модулей $x\in M$ и $y\in N$ определены координатами в выбранных базисах, $x=x_1e_1+\ldots+x_me_m$ , $y=y_1f_1+\ldots+y_nf_n$ , то

$\varphi(x,y)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \ldots\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j$ .

Литература

линейная алгебра, ассоциативное кольцо, билинейная форма, билинейное отображение, кососимметрическая билинейная форма, линейное отображение, матрица билинейной формы, модуль, симметрическая билинейная форма, спаривание

¹⁾

В частности, $M,N,L$ — векторные пространства над полем $R$ .

²⁾

bilinear mapping

³⁾

bilinear form

⁴⁾

pairing

⁵⁾

symmetric bilinear form

⁶⁾

skewsymmetric bilinear form

⁷⁾

matrix of bilinear form

glossary/mapping/bilinear.txt · Последние изменения: 10.10.2011 10:49:16 — Ладилова Анна

Наверх