Билинейное отображение

проверено. единицы вроде как не требуется

Определение

Пусть $ R $ассоциативное коммутативное кольцо, $M,N,L$(левые) $ R $-модули.1)

Определение 1. Отображение $\varphi\colon M\times N\rightarrow L$ называется билинейным2), если оно $ R $-линейно по каждому аргументу, то есть

  • $\varphi(m_1+m_2,n)=\varphi(m_1,n)+\varphi(m_2,n)$ для $\forall m_1,m_2\in M$ и $\forall n\in N$
  • $\varphi(rm,n)=r\varphi(m,n)$ для $\forall r\in R$, $\forall m\in M$, $\forall n\in N$
  • $\varphi(m,n_1+n_2)=\varphi(m,n_1)+\varphi(m,n_2)$ для $\forall m\in M$ и $\forall n_1,n_2\in N$
  • $\varphi(m,rn)=r\varphi(m,n)$ для $\forall r\in R$, $\forall m\in M$, $\forall n\in N$

Пример 1. Рассмотрим $ R $-линейное отображение $R\times R\rightarrow R$, определенное правилом $(r_1,r_2)\mapsto r_1\cdot r_2$. Такое отображение является билинейным, что следует из аксиом ассоциативного кольца.

Билинейная форма

Пусть $ R $ — ассоциативное коммутативное кольцо, $M,N$ — (левые) $ R $-модули.

Определение 2. Билинейное отображение $\varphi\colon M\times N\rightarrow R$ в кольцо $ R $ называется билинейной формой3) на $M\times N$, а также спариванием4) между $ M $ и $ N $.

Замечание. Как правило рассматривается случай, когда $M=N$, при этом говорят о билинейной форме на $ M $.

Определение 3. Если билинейная форма $\varphi$ на модуле $ M $ удовлетворяет условию $\varphi(m_1,m_2)=\varphi(m_2,m_1)$, то она называется симметрической5).

Определение 4. Если билинейная форма $\varphi$ на модуле $ M $ удовлетворяет условию $\varphi(m_1,m_2)=-\varphi(m_2,m_1)$, то она называется кососимметрической6).

Матрица билинейной формы

В случае, когда $ M $ и $ N $свободные $ R $-модули, билинейная форма однозначно определяется своими значениями на базисных элементах модулей.

Определение 5. Пусть $ M $ и $ N $ — конечномерные свободные $ R $-модули с базисами $\{e_1,\ldots,e_m\}$ и $\{f_1,\ldots,f_n\}$, соответственно. Матрицей билинейной формы7) $\varphi\colon M\times N\rightarrow R$ называется матрица

$A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$, где $a_{ij}=\varphi(e_i,f_j)$.

Предложение 1. Если элементы модулей $x\in M$ и $y\in N$ определены координатами в выбранных базисах, $x=x_1e_1+\ldots+x_me_m$, $y=y_1f_1+\ldots+y_nf_n$, то

$\varphi(x,y)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ \ldots\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j$.

Литература

1) В частности, $M,N,L$векторные пространства над полем $ R $.
2) bilinear mapping
3) bilinear form
4) pairing
5) symmetric bilinear form
6) skewsymmetric bilinear form
7) matrix of bilinear form
glossary/mapping/bilinear.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:49:16 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0