Квадратичная форма

Определение

Пусть $ R $ассоциативное коммутативное кольцо, $ M $(левый) $ R $-модуль.

Определение 1. Квадратичной формой1) на $ R $-модуле $ M $ называется отображение $q\colon M\rightarrow R$, обладающее следующими свойствами:

  1. $q(rm)=r^2q(m)$ для любых $r\in R,m\in M$;
  2. отображение $\varphi\colon M\times M\rightarrow R$, определенное формулой $\varphi(m_1,m_2)=q(m_1+m_2)-q(m_1)-q(m_2)$, является билинейной формой на $ M $.

Билинейная форма $\varphi$ называется билинейной формой, ассоциированной с квадратичной формой2) $ q $.

Замечание 1. Билинейная форма $\varphi$, ассоциированная с некоторой квадратичной формой, всегда симметрична.

Для каждой билинейной формы $ f $ на модуле $ M $ можно определить квадратичную форму $ q $ по правилу:

$q(m)=f(m,m)$ для любого $m\in M$.

Тогда ассоциированная с ней билинейная форма равна $\varphi(m_1,m_2)=f(m_1,m_2)+f(m_2,m_1)$.

См. также

Литература

1) quadratic form
2) associated bilinear form
glossary/mapping/form/quadratic.txt · Последние изменения: 04.01.2012 02:15:13 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0