Содержание

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем действительных чисел $\mathbb{R}$ . Пусть $q\colon V\rightarrow\mathbb{R}$ — квадратичная форма на $V$ .

Закон инерции квадратичных форм

Определение 1. Говорят, что квадратичная форма $q$ в базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ имеет нормальный вид, если значение квадратичной формы на произвольном векторе $v=v_1e_1+\ldots+v_ne_n$ вычисляется по формуле

$q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2$ .

Предложение 1. В векторном пространстве $V$ существует базис, в котором квадратичная форма $q$ имеет нормальный вид.

Доказательство.

По предложению 2 в $V$ найдется базис $\{e'_1,\ldots,e'_n\}$ , в котором квадратичная форма имеет канонический вид $q(v)=\lambda_1v_1^2+\ldots+\lambda_nv_n^2$ . Тогда, полагая

$e_i=\begin{cases}e'_i/\sqrt{|\lambda_i|}, & \lambda_i\neq0\\e'_i, & \lambda_i=0\end{cases}$ ,

получим, что

$q(e_i)=\begin{cases}q(e'_i/\sqrt{|\lambda_i|})=q(e'_i)/|\lambda_i|=\lambda_i/|\lambda_i|=\pm1, & \lambda_i\neq0\\q(e'_i)=0, & \lambda_i=0\end{cases}$ .

Меняя, если это необходимо, индексы базисных векторов, мы добъемся нормального вида квадратичной формы.

Предложение 2. Индексы $r$ и $s$ в нормальном виде квадратичной формы

$q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2$

не зависят от способа приведения формы к нормальному виду.

Определение 2. В нормальном виде квадратичной формы

$q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2$

число $s$ называется положительным индексом инерции;
число $r-s$ — отрицательным индексом инерции;
число $r$ — индексом инерции;
пара $(s,r-s)$ называется сигнатурой квадратичной формы.

Положительная определенность

Определение 3. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности $\textrm{dim}_{\mathbb{R}}V$ .

Определение 4. Квадратичная форма называется

положительно определенной, если $q(v)>0$ для всех ненулевых $v\in V$ ;
отрицательно определенной, если $q(v)<0$ для всех ненулевых $v\in V$ ;
положительно полуопределенной, если $q(v)\geqslant0$ для всех $v\in V$ ;
отрицательно полуопределенной, если $q(v)\leqslant0$ для всех $v\in V$ ;
неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример 1. Пусть $q\colon V\rightarrow\mathbb{R}$ имеет в некотором базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ нормальный вид $q(v)=v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2$ , тогда $q$ положительно определена.

См. также

Литература

линейная алгебра, билинейная форма, канонический вид квадратичной формы, квадратичная форма, матрица квадратичной формы, ранг квадратичной формы

glossary/mapping/form/quadratic/linear_space/real.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:13:07 — Ладилова Анна

Наверх