Содержание
Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве
Пусть — конечномерное векторное пространство над полем действительных чисел
. Пусть
— квадратичная форма на
.
Закон инерции квадратичных форм
Определение 1. Говорят, что квадратичная форма в базисе
имеет нормальный вид, если значение квадратичной формы на произвольном векторе
вычисляется по формуле
.
Предложение 1. В векторном пространстве существует базис, в котором квадратичная форма
имеет нормальный вид.
Предложение 2. Индексы и
в нормальном виде квадратичной формы
не зависят от способа приведения формы к нормальному виду.
Определение 2. В нормальном виде квадратичной формы
- число
называется положительным индексом инерции;
- число
— отрицательным индексом инерции;
- число
— индексом инерции;
- пара
называется сигнатурой квадратичной формы.
Положительная определенность
Определение 3. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности .
Определение 4. Квадратичная форма называется
- положительно определенной, если
для всех ненулевых
;
- отрицательно определенной, если
для всех ненулевых
;
- положительно полуопределенной, если
для всех
;
- отрицательно полуопределенной, если
для всех
;
- неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Пример 1. Пусть имеет в некотором базисе
нормальный вид
, тогда
положительно определена.