Ранг матрицы

проверено

Горизонтальный и вертикальный ранг

Пусть $ F $поле, и $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$матрица порядка $m\times n$ с коэффициентами из $ F $.

Определение 1. Рассмотрим $ n $-мерные вектора, составленные из строк матрицы $ A $:

$A_1=\begin{pmatrix}a_{11}, & a_{12}, & \ldots, & a_{1n}\end{pmatrix}$,
$A_2=\begin{pmatrix}a_{21}, & a_{22}, & \ldots, & a_{2n}\end{pmatrix}$,

$A_m=\begin{pmatrix}a_{m1}, & a_{m2}, & \ldots, & a_{mn}\end{pmatrix}$.

Максимальное количество линейно независимых векторов системы $\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}$ называется горизонтальным рангом1) матрицы $ A $.

Определение 2. Рассмотрим $ m $-мерные вектора, составленные из столбцов матрицы $ A $:

$A^1=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \ldots\\ a_{m1}\end{pmatrix}$, $A^2=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \ldots\\ a_{m2}\end{pmatrix}$, …, $A^n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \ldots\\ a_{mn}\end{pmatrix}$.

Максимальное количество линейно независимых векторов системы $\{A^1,A^2,\ldots,A^n\}$ называется вертикальным рангом2) матрицы $ A $.

Пример 1. Рассмотрим матрицу $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}$. Вертикальный ранг $ A $ равен 2, так как вектор-столбец $A^3$ является линейной комбинацией линейно независимых векторов $A^1$ и $A^2$: $A^3=2A^2-A^1$.

Элементарные преобразования матрицы

Определение 3. Элементарными преобразованиями3) строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:

  1. перестановка двух строк,
  2. прибавление к одной строке другой, умноженной на число,
  3. умножение строки матрицы на ненулевое число.

Предложение 1. Элементарные преобразования строк матрицы не меняют ее горизонтальный ранг.

Определение 4. Матрица называется ступенчатой4), если

  1. Номера первых ненулевых элементов в строках матрицы образуют строго возрастающую последовательность,
  2. Нулевые строки матрицы, если они есть, стоят в конце.

Таким образом, ступенчатая матрица имеет вид Ступенчатая матрица

Предложение 2. Горизонтальный ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Предложение 3. Каждую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Пример 2. Приведем матрицу

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}$

к ступенчатому виду. Прибавив к строкам 2, 3, 4 первую строку, умноженную на -1, -2, -2, соответственно, получим матрицу

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & -4 & 3 & -3\end{pmatrix}$.

Прибавляя к строкам 3 и 4 вторую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно, получим

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\end{pmatrix}$.

Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3, поэтому горизонтальный ранг исходной матрицы также равен 3.

Минорный ранг

Определение 5. Число $ r $ называется минорным рангом5) матрицы $ A $, если

  1. найдется ненулевой минор порядка $ r $ матрицы $ A $,
  2. все миноры матрицы $ A $ порядка $r+1$ нулевые.

Пример 3. Найдем минорный ранг матрицы

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}$.

Будем использовать метод окаймляющих миноров.

Выберем ненулевой минор $M_1=1$ порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.

Найдем ненулевой минор второго порядка $M_2$, окаймляющий $M_1$, то есть содержащий первую строку и первый столбец матрицы. Например, $M_2=\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{vmatrix}=-1$, построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.

Далее ищем ненулевой минор третьего порядка $M_3$, окаймляющий $M_2$. Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам — 2-й столбец. Получим $M_3=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\1 & 3 & -1\\ 2 & 0 & 3\end{vmatrix}=-1$.

Перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 2 & -1\\2 & 1 & -1 & 3 \\2 & 0 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & -3 & -3 & 3 \\0 & -4 & -4 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\-3 & -3 & 3 \\-4 & -4 & 3\end{vmatrix}=0$,

на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\1 & 3 & -1 & 4\\2 & 1 & 3 & -2\\2 & 0 & 3 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & 3 & -3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\-3 & 3 & -6\\-4 & 3 & -3\end{vmatrix}=0$.

То есть все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка $M_3$ ненулевой, поэтому минорный ранг матрицы равен 3.

Теорема 1. Для матрицы $ A $ ее минорный, горизонтальный и вертикальный ранг равны.

Определение 6. Число, равное горизонтальному, вертикальному или минорному рангу матрицы $ A $, называется рангом6) матрицы $ A $ и обозначается через $r(A)$.

Литература

1) row rank of matrix
2) column rank of matrix
3) elementary matrix transformations
4) row echelon form
5) minor rank
6) rank
glossary/matrix/rank.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:10:52 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0