Содержание

Ранг матрицы

Ранг матрицы

проверено

Горизонтальный и вертикальный ранг

Пусть $F$ — поле, и $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \ldots &a_{2n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}$ — матрица порядка $m\times n$ с коэффициентами из $F$ .

Определение 1. Рассмотрим $n$ -мерные вектора, составленные из строк матрицы $A$ :

$A_1=\begin{pmatrix}a_{11}, & a_{12}, & \ldots, & a_{1n}\end{pmatrix}$ ,
$A_2=\begin{pmatrix}a_{21}, & a_{22}, & \ldots, & a_{2n}\end{pmatrix}$ ,
…
$A_m=\begin{pmatrix}a_{m1}, & a_{m2}, & \ldots, & a_{mn}\end{pmatrix}$ .

Максимальное количество линейно независимых векторов системы $\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}$ называется горизонтальным рангом¹⁾ матрицы $A$ .

Определение 2. Рассмотрим $m$ -мерные вектора, составленные из столбцов матрицы $A$ :

$A^1=\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ \ldots\\ a_{m1}\end{pmatrix}$ , $A^2=\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ \ldots\\ a_{m2}\end{pmatrix}$ , …, $A^n=\begin{pmatrix}a_{1n}\\ a_{2n}\\ \ldots\\ a_{mn}\end{pmatrix}$ .

Максимальное количество линейно независимых векторов системы $\{A^1,A^2,\ldots,A^n\}$ называется вертикальным рангом²⁾ матрицы $A$ .

Пример 1. Рассмотрим матрицу $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\end{pmatrix}$ . Вертикальный ранг $A$ равен 2, так как вектор-столбец $A^3$ является линейной комбинацией линейно независимых векторов $A^1$ и $A^2$ : $A^3=2A^2-A^1$ .

Элементарные преобразования матрицы

Определение 3. Элементарными преобразованиями³⁾ строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:

перестановка двух строк,
прибавление к одной строке другой, умноженной на число,
умножение строки матрицы на ненулевое число.

Предложение 1. Элементарные преобразования строк матрицы не меняют ее горизонтальный ранг.

Определение 4. Матрица называется ступенчатой⁴⁾, если

Номера первых ненулевых элементов в строках матрицы образуют строго возрастающую последовательность,
Нулевые строки матрицы, если они есть, стоят в конце.

Таким образом, ступенчатая матрица имеет вид

Предложение 2. Горизонтальный ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Предложение 3. Каждую матрицу путем элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.

Пример 2. Приведем матрицу

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}$

к ступенчатому виду. Прибавив к строкам 2, 3, 4 первую строку, умноженную на -1, -2, -2, соответственно, получим матрицу

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & -4 & 3 & -3\end{pmatrix}$ .

Прибавляя к строкам 3 и 4 вторую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно, получим

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\end{pmatrix}$ .

Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

Горизонтальный ранг этой матрицы равен 3, поэтому горизонтальный ранг исходной матрицы также равен 3.

Минорный ранг

Определение 5. Число $r$ называется минорным рангом⁵⁾ матрицы $A$ , если

найдется ненулевой минор порядка $r$ матрицы $A$ ,
все миноры матрицы $A$ порядка $r+1$ нулевые.

Пример 3. Найдем минорный ранг матрицы

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Будем использовать метод окаймляющих миноров.

Выберем ненулевой минор $M_1=1$ порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.

Найдем ненулевой минор второго порядка $M_2$ , окаймляющий $M_1$ , то есть содержащий первую строку и первый столбец матрицы. Например, $M_2=\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{vmatrix}=-1$ , построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.

Далее ищем ненулевой минор третьего порядка $M_3$ , окаймляющий $M_2$ . Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам — 2-й столбец. Получим $M_3=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\1 & 3 & -1\\ 2 & 0 & 3\end{vmatrix}=-1$ .

Перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 2 & -1\\2 & 1 & -1 & 3 \\2 & 0 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & -3 & -3 & 3 \\0 & -4 & -4 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\-3 & -3 & 3 \\-4 & -4 & 3\end{vmatrix}=0$ ,

на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\1 & 3 & -1 & 4\\2 & 1 & 3 & -2\\2 & 0 & 3 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & 3 & -3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\-3 & 3 & -6\\-4 & 3 & -3\end{vmatrix}=0$ .

То есть все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка $M_3$ ненулевой, поэтому минорный ранг матрицы равен 3.

Теорема 1. Для матрицы $A$ ее минорный, горизонтальный и вертикальный ранг равны.

Определение 6. Число, равное горизонтальному, вертикальному или минорному рангу матрицы $A$ , называется рангом⁶⁾ матрицы $A$ и обозначается через $r(A)$ .

Литература

линейная алгебра, вертикальный ранг, горизонтальный ранг, матрица, матрица ступенчатого вида, метод окаймляющих миноров, минорный ранг, ранг матрицы, элементарное преобразование матрицы

¹⁾

row rank of matrix

²⁾

column rank of matrix

³⁾

elementary matrix transformations

⁴⁾

row echelon form

⁵⁾

minor rank

⁶⁾

rank

glossary/matrix/rank.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:10:52 — Ладилова Анна

Наверх