Теорема Лапласа

проверено

Минор

Пусть $ A $квадратная матрица порядка $ n $ с коэффициентами из кольца $ R $, $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$.

Определение 1. Минором1) порядка $ k $ произвольной матрицы $ A $ называется определитель ее подматрицы порядка $ k $.

Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка $ k $, мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице $ A $ любые $ k $ строк с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и $ k $ столбцов с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель $\begin{vmatrix}a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \ldots & a_{i_1j_k}\\ a_{i_2j_1} & a_{i_2j_2} & \ldots & a_{i_2j_k}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i_kj_1} & a_{i_kj_2} & \ldots & a_{i_kj_k}\end{vmatrix}$ — это минор порядка $ k $, который мы будем обозначать через $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$.

Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: $\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{pmatrix}$. Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, $M^2_3=a_{23}=-2$ — минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.

Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор $M^{13}_{12}$ будет равен $\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7$.

Определение 2. Пусть $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ — минор порядка $ k $ квадратной матрицы $ A $, построенный на строках с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и столбцах с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$. Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой $\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ будем называть дополнительным минором2) к минору $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$. Произвольный элемент $a_{ij}$ матрицы $ A $ можно рассматривать как минор $M^i_j$. В этом случае $\overline{M}^i_j$ называют дополнительным минором к элементу $a_{ij}$.

Пример 3. Дополнительный минор к минору $M^{13}_{12}$ из примера 4 равен $\overline{M}^{13}_{12}=-2$.

Пример 4. Дополнительный минор к элементу $a_{23}$ матрицы $ A $ из примера 3 равен $\overline{M}^2_3=\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7$.

Алгебраическое дополнение

Определение 3. Пусть $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ — минор порядка $ k $ матрицы $ A $, построенный на строках с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и столбцах с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$. Величину $A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}=(-1)^{i_1+\ldots+i_k+j_1+\ldots+j_k}\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ будем называть алгебраическим дополнением3) минора $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$.

Пример 5. Алгебраическое дополнение минора $M^{13}_{12}$ из примера 4 равно $(-1)^{1+3+1+2}\overline{M}^{13}_{12}=2$. Алгебраическое дополнение элемента $a_{23}$ из примера 3 равно $A^2_3=(-1)^{2+3}\overline{M}^2_3=7$.

Теорема Лапласа

Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице $ A $ произвольные $ k $ строк с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$. Тогда определитель матрицы $ A $ равен сумме произведений всевозможных миноров, построенных на этих строках, на их алгебраическое дополнение. То есть $\det A=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n}M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$.

Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером $ i $, то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу:
$\det A = a_{i1}A^i_1+a_{i2}A^i_2+\ldots+a_{in}A^i_n$.

Пример 6. Вычислим определитель матрицы $ A $ из примера 3 с помощью разложения по первой строке:
$\begin{vmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}2 & -2\\ -4 & 4\end{vmatrix}+(-1)\cdot(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}3 & -2\\ -3 & 4\end{vmatrix}+$$0\cdot(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\ -3 & -4\end{vmatrix}=0+6+0=6$.

Пример 7. См. задачу 3.

См. также

Литература

1) minor
2) complement of minor
3) algebraic complement
glossary/matrix/theorem/laplace.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:08:33 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0