Содержание

Теорема Лапласа

Теорема Лапласа

проверено

Минор

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$ с коэффициентами из кольца $R$ , $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$ .

Определение 1. Минором¹⁾ порядка $k$ произвольной матрицы $A$ называется определитель ее подматрицы порядка $k$ .

Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка $k$ , мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице $A$ любые $k$ строк с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и $k$ столбцов с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$ . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель $\begin{vmatrix}a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \ldots & a_{i_1j_k}\\ a_{i_2j_1} & a_{i_2j_2} & \ldots & a_{i_2j_k}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i_kj_1} & a_{i_kj_2} & \ldots & a_{i_kj_k}\end{vmatrix}$ — это минор порядка $k$ , который мы будем обозначать через $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ .

Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: $\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{pmatrix}$ . Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, $M^2_3=a_{23}=-2$ — минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.

Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор $M^{13}_{12}$ будет равен $\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7$ .

Определение 2. Пусть $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ — минор порядка $k$ квадратной матрицы $A$ , построенный на строках с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и столбцах с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$ . Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой $\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ будем называть дополнительным минором²⁾ к минору $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ . Произвольный элемент $a_{ij}$ матрицы $A$ можно рассматривать как минор $M^i_j$ . В этом случае $\overline{M}^i_j$ называют дополнительным минором к элементу $a_{ij}$ .

Пример 3. Дополнительный минор к минору $M^{13}_{12}$ из примера 4 равен $\overline{M}^{13}_{12}=-2$ .

Пример 4. Дополнительный минор к элементу $a_{23}$ матрицы $A$ из примера 3 равен $\overline{M}^2_3=\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7$ .

Алгебраическое дополнение

Определение 3. Пусть $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ — минор порядка $k$ матрицы $A$ , построенный на строках с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ и столбцах с номерами $j_1,j_2,\ldots,j_k$ . Величину $A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}=(-1)^{i_1+\ldots+i_k+j_1+\ldots+j_k}\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ будем называть алгебраическим дополнением³⁾ минора $M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ .

Пример 5. Алгебраическое дополнение минора $M^{13}_{12}$ из примера 4 равно $(-1)^{1+3+1+2}\overline{M}^{13}_{12}=2$ . Алгебраическое дополнение элемента $a_{23}$ из примера 3 равно $A^2_3=(-1)^{2+3}\overline{M}^2_3=7$ .

Теорема Лапласа

Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице $A$ произвольные $k$ строк с номерами $i_1,i_2,\ldots,i_k$ . Тогда определитель матрицы $A$ равен сумме произведений всевозможных миноров, построенных на этих строках, на их алгебраическое дополнение. То есть $\det A=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n}M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}$ .

Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером $i$ , то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу:
$\det A = a_{i1}A^i_1+a_{i2}A^i_2+\ldots+a_{in}A^i_n$ .

Пример 6. Вычислим определитель матрицы $A$ из примера 3 с помощью разложения по первой строке:
$\begin{vmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}2 & -2\\ -4 & 4\end{vmatrix}+(-1)\cdot(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}3 & -2\\ -3 & 4\end{vmatrix}+$ $0\cdot(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\ -3 & -4\end{vmatrix}=0+6+0=6$ .

Пример 7. См. задачу 3.

См. также

Литература

линейная алгебра, алгебраическое дополнение, дополнительный минор, матрица, минор, определитель, теорема лапласа

¹⁾

minor

²⁾

complement of minor

³⁾

algebraic complement

glossary/matrix/theorem/laplace.txt · Последние изменения: 15.02.2014 12:08:33 — Ладилова Анна

Наверх