Теорема Лапласа
проверено
Минор
Пусть — квадратная матрица порядка
с коэффициентами из кольца
,
.
Определение 1. Минором1) порядка произвольной матрицы
называется определитель ее подматрицы порядка
.
Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка , мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице
любые
строк с номерами
и
столбцов с номерами
. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель
— это минор порядка
, который мы будем обозначать через
.
Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: . Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца,
— минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.
Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор будет равен
.
Определение 2. Пусть — минор порядка
квадратной матрицы
, построенный на строках с номерами
и столбцах с номерами
. Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой
будем называть дополнительным минором2) к минору
. Произвольный элемент
матрицы
можно рассматривать как минор
. В этом случае
называют дополнительным минором к элементу
.
Пример 3. Дополнительный минор к минору из примера 4 равен
.
Пример 4. Дополнительный минор к элементу матрицы
из примера 3 равен
.
Алгебраическое дополнение
Определение 3. Пусть — минор порядка
матрицы
, построенный на строках с номерами
и столбцах с номерами
. Величину
будем называть алгебраическим дополнением3) минора
.
Пример 5. Алгебраическое дополнение минора из примера 4 равно
. Алгебраическое дополнение элемента
из примера 3 равно
.
Теорема Лапласа
Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице произвольные
строк с номерами
. Тогда определитель матрицы
равен сумме произведений всевозможных миноров, построенных на этих строках, на их алгебраическое дополнение. То есть
.
Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером , то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу:
.
Пример 6. Вычислим определитель матрицы из примера 3 с помощью разложения по первой строке:
.
Пример 7. См. задачу 3.