Простой спектр кольца

Определение

Определение 1. Пусть $A$ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Простым спектром1), или просто спектром, кольца $A$ называется множество $\textrm{Spec}~A$, состоящее из простых идеалов кольца $A$.

Определение 2. Простые идеалы в $A$ называют точками спектра2) $\textrm{Spec}~A$.

Пример 1. Простой спектр поля $F$ состоит из одной точки — нулевого идеала: $\textrm{Spec}~A=\{(0)\}$.

Пример 2. Простой спектр кольца целых чисел $\mathbb{Z}$ — это множество $\{(0),(2),(3),(5),(7),(11),(13),(17)\ldots\}$.

Топология Зарисского

Для произвольного идеала $\mathfrak{a}$ кольца $A$ определим множество $V(\mathfrak{a})$, состоящее из всех простых идеалов, содержащих $\mathfrak{a}$:

$V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\vert\mathfrak{p}\supseteq\mathfrak{a}\}$.

Предложение 1. Пусть $\mathfrak{a}$,$\mathfrak{b}$ и $\mathfrak{a}_i,i\in I$ — идеалы в $A$. Тогда

  1. $V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$;
  2. $\underset{i\in I}{\cap}V(\mathfrak{a}_i)=V(\underset{i\in I}{\sum}\mathfrak{a}_i)$;
  3. $V((0))=\textrm{Spec}~A$;
  4. $V(A)=\emptyset$.

Это предложение означает, что множество $\textrm{Spec}~A$ наделено структурой топологического пространства3), в котором $V(\mathfrak{a})$ являются замкнутыми множествами.

Определение 3. Определенную выше топологию на $\textrm{Spec}~A$ называют спектральной, или топологией Зарисского4).

Главные открытые множества

См. также

Литература

1) prime spectrum
2) points of spectrum
4) Zariski topology
glossary/ring/spectrum.txt · Последние изменения: 16.01.2015 13:26:49 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0