Топология Зарисского в аффинном пространстве

Определение

Предложение 1. Пусть $\textbf{A}^n$ — аффинное пространство. Аффинные алгебраические множества удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств:

Пустое множество $\varnothing$ является аффинным алгебраическим множеством.
Аффинное пространство $\textbf{A}^n$ является аффинным алгебраическим множеством.
Объединение $X_1\cup X_2$ двух аффинных алгебраических множеств $X_1$ и $X_2$ является аффинным алгебраическим множеством.
Пересечение $\underset{\alpha\in\mathcal{A}}{\cap}X_{\alpha}$ семейства аффинных алгебраических множеств $X_{\alpha}$ является аффинным алгебраическим множеством.

Определение 1. Топология на пространстве $\textbf{A}^n$ , замкнутыми множествами которой являются аффинные алгебраические множества в $\textbf{A}^n$ , называется топологией Зарисского¹⁾.

Пример 1. Собственными замкнутыми множествами в топологии Зарисского на $\textbf{A}^1$ являются конечные наборы точек.

Пример 2. В $\textbf{A}^2=\textbf{A}^1\times\textbf{A}^1$ топология Зарисского не является топологией произведения, так как собственные замкнутые множества в $\textbf{A}^2$ это не только конечные наборы точек, но и кривые, являющиеся нулями многочленов из $F[T_1,T_2]$ .