Примитивное кольцо

Примитивное слева кольцо

Определение 1. Ассоциативное кольцо $ R $ называется примитивным слева1), если оно обладает точным неприводимым левым модулем.

Пример 1. Если $ M $ — неприводимый левый $ R $-модуль и $\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert xM=0\}$, то кольцо $R/\textrm{Ann}_R(M)$ примитивно слева.

Теорема 1. Ассоциативное кольцо $ R $ примитивно слева тогда и только тогда, когда в $ R $ существует максимальный левый регулярный идеал $\rho$, такой, что $(\rho:R)=\{x\in R\vert xR\subseteq\rho\}=0$.

Следствие 1. Пусть ассоциативное кольцо $ R $ примитивно слева, тогда $ R $ полупросто.

Следствие 2. Пусть ассоциативное кольцо $ R $ примитивно слева и коммутативно, тогда $ R $ является полем.

Примитивное справа кольцо

Определение 2. Ассоциативное кольцо $ R $ называется примитивным справа2), если оно обладает точным неприводимым правым модулем.

Пример 2. Если $ M $ — неприводимый правый $ R $-модуль и $\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert Mx=0\}$, то кольцо $R/\textrm{Ann}_R(M)$ примитивно справа.

Теорема 2. Ассоциативное кольцо $ R $ примитивно справа тогда и только тогда, когда в $ R $ существует максимальный правый регулярный идеал $\rho$, такой, что $(\rho:R)=\{x\in R\vert Rx\subseteq\rho\}=0$.

Следствие 1. Пусть ассоциативное кольцо $ R $ примитивно справа, тогда $ R $ полупросто.

Следствие 2. Пусть ассоциативное кольцо $ R $ примитивно справа и коммутативно, тогда $ R $ является полем.

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) left primitive ring
2) right primitive ring
glossary/ring/primitive.txt · Последние изменения: 09.10.2011 16:26:28 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0