Примитивное кольцо
Примитивное слева кольцо
Определение 1. Ассоциативное кольцо называется примитивным слева1), если оно обладает точным неприводимым левым модулем.
Пример 1. Если — неприводимый левый
-модуль и
, то кольцо
примитивно слева.
Теорема 1. Ассоциативное кольцо примитивно слева тогда и только тогда, когда в
существует максимальный левый регулярный идеал
, такой, что
.
Следствие 1. Пусть ассоциативное кольцо примитивно слева, тогда
полупросто.
Следствие 2. Пусть ассоциативное кольцо примитивно слева и коммутативно, тогда
является полем.
Примитивное справа кольцо
Определение 2. Ассоциативное кольцо называется примитивным справа2), если оно обладает точным неприводимым правым модулем.
Пример 2. Если — неприводимый правый
-модуль и
, то кольцо
примитивно справа.
Теорема 2. Ассоциативное кольцо примитивно справа тогда и только тогда, когда в
существует максимальный правый регулярный идеал
, такой, что
.
Следствие 1. Пусть ассоциативное кольцо примитивно справа, тогда
полупросто.
Следствие 2. Пусть ассоциативное кольцо примитивно справа и коммутативно, тогда
является полем.
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.