Содержание
Идеал в коммутативном кольце
Определение
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Подмножество кольца
называется идеалом1), если
— подгруппа в
и выполнено условие
для всех
и
.
Замечание 1. Данное определение совпадает с определением левого идеала произвольного кольца. Вообще в коммутативных кольцах понятия левого и правого идеалов совпадают, поэтому они называются просто идеалами.
Определение 2. Идеал кольца
называется собственным2), если
.
Пример 1. является идеалом в любом кольце.
Пример 2. Множество целых чисел, делящихся на
, является идеалом в кольце целых чисел
.
Операции над идеалами
Сумма идеалов
Определение 3. Суммой идеалов и
кольца
называется наименьший идеал, содержащий
и
, то есть множество
.
Пример 3. Сумма идеалов и
в
равна НОД
.
Произведение идеалов
Определение 4. Произведением идеалов и
кольца
называется множество
.
Пример 4. Произведение идеалов и
в
равно
.
Частное идеалов
Определение 5. Частным идеалов и
кольца
называется множество
.
Определение 6. Частное называется аннулятором кольца
.
Пересечение идеалов
Предложение 1. Пересечение любого семейства идеалов является идеалом.
Пример 5. Пересечение идеалов и
в
равно НОК
.
Предложение 2. Для любых идеалов и
в
имеет место включение
.