Идеал в коммутативном кольце

Определение

Пусть $A$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Подмножество $I$ кольца $A$ называется идеалом1), если $I$подгруппа в $A$ и выполнено условие

$ar\in I$ для всех $a\in A$ и $r\in I$.

Замечание 1. Данное определение совпадает с определением левого идеала произвольного кольца. Вообще в коммутативных кольцах понятия левого и правого идеалов совпадают, поэтому они называются просто идеалами.

Определение 2. Идеал $I$ кольца $A$ называется собственным2), если $0\subsetneqq I\subsetneqq A$.

Пример 1. $\{0\}$ является идеалом в любом кольце.

Пример 2. Множество $n\mathbb{Z}$ целых чисел, делящихся на $n$, является идеалом в кольце целых чисел $\mathbb{Z}$.

Операции над идеалами

Сумма идеалов

Определение 3. Суммой идеалов $I_1$ и $I_2$ кольца $A$ называется наименьший идеал, содержащий $I_1$ и $I_2$, то есть множество

$I_1+I_2=\{x_1+x_2|x_1\in I_1,\ x_2\in I_2\}$.

Пример 3. Сумма идеалов $n\mathbb{Z}$ и $m\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$ равна НОД$(n,m)\mathbb{Z}$.

Произведение идеалов

Определение 4. Произведением идеалов $I_1$ и $I_2$ кольца $A$ называется множество

$I_1I_2=\{\sum_{i=1}^n x_iy_i|x_i\in I_1,y_i\in I_2,\,n\in\mathbb{N}\}$.

Пример 4. Произведение идеалов $n\mathbb{Z}$ и $m\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$ равно $nm\mathbb{Z}$.

Частное идеалов

Определение 5. Частным идеалов $I_1$ и $I_2$ кольца $A$ называется множество

$(I_1:I_2)=\{a\in A|a\cdot I_2\subseteq I_1\}$.

Определение 6. Частное $(0:A)$ называется аннулятором кольца $A$.

Пересечение идеалов

Предложение 1. Пересечение любого семейства идеалов является идеалом.

Пример 5. Пересечение идеалов $n\mathbb{Z}$ и $m\mathbb{Z}$ в $\mathbb{Z}$ равно НОК$(n,m)\mathbb{Z}$.

Предложение 2. Для любых идеалов $I_1$ и $I_2$ в $A$ имеет место включение

$I_1I_2\subseteq I_1\cap I_2\subseteq I_1+I_2$.

См. также

Литература

1) ideal
2) proper ideal
glossary/ring/commutative/ideal.txt · Последние изменения: 09.10.2011 00:01:13 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0