Содержание
Индуктивный предел модулей
Описание
Определение 1. Пусть — частично упорядоченное множество. Множество называется направленным1), если для любой пары элементов существует такой элемент , что и .
Пример 1. Пусть — топологическое пространство, — некоторая точка из . Совокупность открытых окрестностей точки является направленным множеством с отношением частичного порядка ,2) так как для любых окрестностей и найдется окрестность такая, что .
Определение 2. Пусть — ассоциативное кольцо и — семейство (левых) -модулей, перенумерованное направленным множеством . Пусть, кроме того, для всякой пары такой, что задан гомоморфизм -модулей , удовлетворяющий следующим условиям:
- для всех ;
- для всех таких, что .
Тогда говорят, что модули и гомоморфизмы образуют индуктивную систему3) с множеством индексов .
Определение 3. Пусть — индуктивная система с множеством индексов . Пусть, кроме того, и — подмодуль . Положим и рассмотрим отображения — ограничения на . Тогда пара , состоящая из -модуля и семейства гомоморфизмов , называется индуктивным4), или прямым пределом5) системы и обозначается . Из конструкции ясно, что при всех .
Предложение 1. Индуктивный предел обладает универсальным свойством:
для любого -модуля и семейства гомоморфизмов -модулей , , удовлетворяющих условию при всех , существует единственный гоморфизм -модулей , делающий коммутативными диаграммы
при каждом .
Пример 2. Пусть — топологическое пространство, — предпучок абелевых групп6), — некоторая точка из . Тогда группы вместе с отображениями ограничения образуют индуктивную систему. Индуктивный предел обозначается через и называется слоем предпучка в точке .7) Элементы — ростки — это классы эквивалентности пар , где . Пары и принадлежат одному классу, если существует окрестность точки , что .