Содержание
Индуктивный предел модулей
Описание
Определение 1. Пусть — частично упорядоченное множество. Множество
называется направленным1), если для любой пары элементов
существует такой элемент
, что
и
.
Пример 1. Пусть — топологическое пространство,
— некоторая точка из
. Совокупность открытых окрестностей
точки
является направленным множеством с отношением частичного порядка
,2) так как для любых окрестностей
и
найдется окрестность
такая, что
.
Определение 2. Пусть — ассоциативное кольцо и
— семейство (левых)
-модулей, перенумерованное направленным множеством
. Пусть, кроме того, для всякой пары
такой, что
задан гомоморфизм
-модулей
, удовлетворяющий следующим условиям:
для всех
;
для всех
таких, что
.
Тогда говорят, что модули и гомоморфизмы
образуют индуктивную систему3)
с множеством индексов
.
Определение 3. Пусть — индуктивная система с множеством индексов
. Пусть, кроме того,
и
— подмодуль
. Положим
и рассмотрим отображения
— ограничения
на
. Тогда пара
, состоящая из
-модуля
и семейства гомоморфизмов
, называется индуктивным4), или прямым пределом5) системы
и обозначается
. Из конструкции ясно, что
при всех
.
Предложение 1. Индуктивный предел обладает универсальным свойством:
для любого -модуля
и семейства гомоморфизмов
-модулей
,
, удовлетворяющих условию
при всех
, существует единственный гоморфизм
-модулей
, делающий коммутативными диаграммы
при каждом .
Пример 2. Пусть — топологическое пространство,
— предпучок абелевых групп6),
— некоторая точка из
. Тогда группы
вместе с отображениями ограничения
образуют индуктивную систему. Индуктивный предел
обозначается через
и называется слоем предпучка в точке
.7) Элементы
— ростки — это классы эквивалентности пар
, где
. Пары
и
принадлежат одному классу, если существует окрестность
точки
, что
.
См. также
Литература
