Индуктивный предел модулей

Описание

Определение 1. Пусть $\mathcal{I}$ — частично упорядоченное множество. Множество $\mathcal{I}$ называется направленным¹⁾, если для любой пары элементов $i,j\in\mathcal{I}$ существует такой элемент $k\in\mathcal{I}$ , что $i\leqslant k$ и $j\leqslant k$ .

Пример 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $P$ — некоторая точка из $X$ . Совокупность открытых окрестностей $U$ точки $P$ является направленным множеством с отношением частичного порядка $\subseteq$ ,²⁾ так как для любых окрестностей $U$ и $V$ найдется окрестность $W$ такая, что $P\in W\subseteq U\cap V$ .

Определение 2. Пусть $A$ — ассоциативное кольцо и $\{M_i\}_{i\in\mathcal{I}}$ — семейство (левых) $A$ -модулей, перенумерованное направленным множеством $\mathcal{I}$ . Пусть, кроме того, для всякой пары $i,j\in\mathcal{I}$ такой, что $i\leqslant j$ задан гомоморфизм $A$ -модулей $\mu_{ij}:M_i\rightarrow M_j$ , удовлетворяющий следующим условиям:

$\mu_{ii}=\textrm{id}_{M_i}$ для всех $i\in\mathcal{I}$ ;
$\mu_{ik}=\mu_{jk}\circ\mu_{ij}$ для всех $i,j,k\in\mathcal{I}$ таких, что $i\leqslant j\leqslant k$ .

Тогда говорят, что модули $M_i$ и гомоморфизмы $\mu_{ij}$ образуют индуктивную систему³⁾ $\mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij})$ с множеством индексов $\mathcal{I}$ .

Определение 3. Пусть $\mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij})$ — индуктивная система с множеством индексов $\mathcal{I}$ . Пусть, кроме того, $C=\underset{i\in\mathcal{I}}{\oplus}M_i$ и $D=\langle x_i-\mu_{ij}(x_i)\vert i\leqslant j,x_i\in M_i\rangle_A$ — подмодуль $C$ . Положим $M=C/D$ и рассмотрим отображения $\mu_i:M_i\rightarrow C/D$ — ограничения $\mu:C\rightarrow C/D$ на $M_i$ . Тогда пара $(M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}})$ , состоящая из $A$ -модуля $M$ и семейства гомоморфизмов $\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}}$ , называется индуктивным⁴⁾, или прямым пределом⁵⁾ системы $\mathcal{M}$ и обозначается $\underrightarrow{\textrm{lim}}~M_i$ . Из конструкции ясно, что $\mu_i=\mu_j\circ\mu_{ij}$ при всех $i\leqslant j$ .

Предложение 1. Индуктивный предел $(M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}})$ обладает универсальным свойством:
для любого $A$ -модуля $N$ и семейства гомоморфизмов $A$ -модулей $\varphi_i\colon M_i\rightarrow N$ , $i\in\mathcal{I}$ , удовлетворяющих условию $\varphi_i=\varphi_j\circ\mu_{ij}$ при всех $i\leqslant j$ , существует единственный гоморфизм $A$ -модулей $\varphi\colon M\rightarrow N$ , делающий коммутативными диаграммы

$\begin{diagram}\node{M_i}\arrow[2]{e,t}{\mu_i}\arrow{se,b}{\varphi_i}\node[2]{M}\arrow{sw,b}{\varphi}\\\node[2]{N}\end{diagram}$

при каждом $i\in\mathcal{I}$ .

Пример 2. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $\mathcal{F}$ — предпучок абелевых групп⁶⁾, $P$ — некоторая точка из $X$ . Тогда группы $\mathcal{F}(U)$ вместе с отображениями ограничения $\rho_{UV}\colon\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)$ образуют индуктивную систему. Индуктивный предел $\varinjlim_{U\ni P}\mathcal{F}(U)$ обозначается через $\mathcal{F}_P$ и называется слоем предпучка в точке $P$ .⁷⁾ Элементы $\mathcal{F}_P$ — ростки — это классы эквивалентности пар $\langle U,s\rangle$ , где $s\in\mathcal{F}(U)$ . Пары $\langle U,s\rangle$ и $\langle V,t\rangle$ принадлежат одному классу, если существует окрестность $W$ точки $P$ , что $\rho_{UW}(s)=\rho_{VW}(t)$ .