Индуктивный предел модулей

Описание

Определение 1. Пусть $\mathcal{I}$частично упорядоченное множество. Множество $\mathcal{I}$ называется направленным1), если для любой пары элементов $i,j\in\mathcal{I}$ существует такой элемент $k\in\mathcal{I}$, что $i\leqslant k$ и $j\leqslant k$.

Пример 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $P$ — некоторая точка из $X$. Совокупность открытых окрестностей $U$ точки $P$ является направленным множеством с отношением частичного порядка $\subseteq$,2) так как для любых окрестностей $U$ и $V$ найдется окрестность $W$ такая, что $P\in W\subseteq U\cap V$.

Определение 2. Пусть $ A $ассоциативное кольцо и $\{M_i\}_{i\in\mathcal{I}}$ — семейство (левых) $A$-модулей, перенумерованное направленным множеством $\mathcal{I}$. Пусть, кроме того, для всякой пары $i,j\in\mathcal{I}$ такой, что $i\leqslant j$ задан гомоморфизм $A$-модулей $\mu_{ij}:M_i\rightarrow M_j$, удовлетворяющий следующим условиям:

  1. $\mu_{ii}=\textrm{id}_{M_i}$ для всех $i\in\mathcal{I}$;
  2. $\mu_{ik}=\mu_{jk}\circ\mu_{ij}$ для всех $i,j,k\in\mathcal{I}$ таких, что $i\leqslant j\leqslant k$.

Тогда говорят, что модули $M_i$ и гомоморфизмы $\mu_{ij}$ образуют индуктивную систему3) $\mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij})$ с множеством индексов $\mathcal{I}$.

Определение 3. Пусть $\mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij})$ — индуктивная система с множеством индексов $\mathcal{I}$. Пусть, кроме того, $C=\underset{i\in\mathcal{I}}{\oplus}M_i$ и $D=\langle x_i-\mu_{ij}(x_i)\vert i\leqslant j,x_i\in M_i\rangle_A$ — подмодуль $ C $. Положим $M=C/D$ и рассмотрим отображения $\mu_i:M_i\rightarrow C/D$ — ограничения $\mu:C\rightarrow C/D$ на $M_i$. Тогда пара $(M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}})$, состоящая из $ A $-модуля $ M $ и семейства гомоморфизмов $\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}}$, называется индуктивным4), или прямым пределом5) системы $\mathcal{M}$ и обозначается $\underrightarrow{\textrm{lim}}~M_i$. Из конструкции ясно, что $\mu_i=\mu_j\circ\mu_{ij}$ при всех $i\leqslant j$.

Предложение 1. Индуктивный предел $(M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}})$ обладает универсальным свойством:
для любого $A$-модуля $N$ и семейства гомоморфизмов $A$-модулей $\varphi_i\colon M_i\rightarrow N$, $i\in\mathcal{I}$, удовлетворяющих условию $\varphi_i=\varphi_j\circ\mu_{ij}$ при всех $i\leqslant j$, существует единственный гоморфизм $A$-модулей $\varphi\colon M\rightarrow N$, делающий коммутативными диаграммы

$\begin{diagram}\node{M_i}\arrow[2]{e,t}{\mu_i}\arrow{se,b}{\varphi_i}\node[2]{M}\arrow{sw,b}{\varphi}\\\node[2]{N}\end{diagram}$

при каждом $i\in\mathcal{I}$.

Пример 2. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $\mathcal{F}$предпучок абелевых групп6), $P$ — некоторая точка из $X$. Тогда группы $\mathcal{F}(U)$ вместе с отображениями ограничения $\rho_{UV}\colon\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)$ образуют индуктивную систему. Индуктивный предел $\varinjlim_{U\ni P}\mathcal{F}(U)$ обозначается через $\mathcal{F}_P$ и называется слоем предпучка в точке $P$.7) Элементы $\mathcal{F}_P$ростки — это классы эквивалентности пар $\langle U,s\rangle$, где $s\in\mathcal{F}(U)$. Пары $\langle U,s\rangle$ и $\langle V,t\rangle$ принадлежат одному классу, если существует окрестность $W$ точки $P$, что $\rho_{UW}(s)=\rho_{VW}(t)$.

См. также

Литература

1) directed set
3) inductive system
4) inductive limit
5) direct limit
6) то есть модулей над $\mathbb{Z}$
glossary/module/limit/inductive.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:49:56 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0