![$s^{-1}$ $s^{-1}$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A887ad8921a37ff5d1f84bf6bb6c528e8.png)
![$s$ $s$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A8e15ebbdecb706461bd1dcce827782fe.png)
![$S$ $S$](/doku.php/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A407198a6762317ce6feaa77909b7cfdc.png)
проверено
Определение 1. Для произвольного множества рассмотрим множество
1). Назовем
алфавитом, а выражение вида
, где
, — словом. Слово называется несократимым2), если в нем не встречаются рядом
и
, пустое слово будем обозначать символом
. Рассмотрим множество
, состоящее из пустого слова
и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения:
Определенное таким образом умножение обладает свойством ассоциативности, элемент является единицей, а каждое несократимое слово
обладает обратным элементом
. Следовательно,
является группой, которая называется свободной группой3), порожденной множеством
.
Пример 1. Группа целых чисел с операцией сложения
изоморфна свободной группе, порожденной множеством
. При этом элементу
ставится в соответствие
или
.