Свободная группа

проверено

Определение

Определение 1. Для произвольного множества $S$ рассмотрим множество $S^{-1}=\{s^{-1},s\in S\}$1). Назовем $S\cup S^{-1}$ алфавитом, а выражение вида $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}$, где $\varepsilon=\pm 1$, — словом. Слово называется несократимым2), если в нем не встречаются рядом $x_i^{\varepsilon_i}$ и $x_i^{-\varepsilon_i}$, пустое слово будем обозначать символом $e$. Рассмотрим множество $F(S)$, состоящее из пустого слова $e$ и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения:

  1. $ef=fe=f$ для всех $f\in F(S)$;
  2. $(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})(y_1^{\delta_1}\dots y_m^{\delta_m})$ равно слову $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}y_1^{\delta_1}\dots y_m^{\delta_m}$, из которого выбросили все сокращения, то есть выражения вида $z_i^{\alpha_i}z_i^{-\alpha_i}$.

Определенное таким образом умножение обладает свойством ассоциативности, элемент $ e $ является единицей, а каждое несократимое слово $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}$ обладает обратным элементом $(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}$. Следовательно, $F(S)$ является группой, которая называется свободной группой3), порожденной множеством $S$.

Пример 1. Группа целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ изоморфна свободной группе, порожденной множеством $S=\{x\}$. При этом элементу $x$ ставится в соответствие $1$ или $-1$.

Литература

1) Не следует считать, что элемент $s^{-1}$ обратный для $s$, поскольку $S$ не наделено какой-либо алгебраической структурой.
2) irreducible word
3) free group
glossary/group/free.txt · Последние изменения: 18.01.2011 14:37:57 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0