Ограниченная универсальная обертывающая алгебра

Определение

Пусть $(L,[p])$ограниченная алгебра Ли над полем $F$.

Определение 1. Пара $(u(L),i)$, состоящая из ассоциативной алгебры с единицей и ограниченного гомоморфизма $i:L\rightarrow u(L)_L$, где $u(L)_L$алгебра Ли ассоциативной алгебры $u(L)$, называется ограниченной универсальной обертывающей алгеброй1), если для произвольной ассоциативной алгебры $A$ с единицей и любого ограниченного гомоморфизма $\varphi:L\rightarrow A_L$ существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр $\overline{\varphi}:u(L)\rightarrow A$ такой, что следующая диаграмма коммутативна
$\begin{diagram}\node[2]{L}\arrow[2]{e,t}{i}\arrow[2]{se,b}{\varphi}\node[2]{u(L)_L}\arrow[2]{s,r}{\overline{\varphi}}\\ \\ \node[4]{A_L.}\end{diagram}$

Замечание. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра является универсальным объектом в категорном смысле, и определена с точностью до изоморфизма единственным образом.

Теорема 1.

  1. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра существует.
  2. Пусть $\{e_i\}_{i\in I}$ — базис в $L$. Тогда множество $\{e_{i_1}^{s_1}\ldots e_{i_n}^{s_n}\vert i_1<\ldots<i_n, 0\leqslant s_j\leqslant p-1,1\leqslant j\leqslant n\}$ является базисом $u(L)$. Отображение $ i $ — это вложение $L$ в $u(L)_L$. Если $\textrm{dim}_F(L)=n$, то размерность ограниченной универсальной обертывающей равна $p^n$.

Литература

  • Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
  • Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.
1) restricted universal enveloping algebra
glossary/algebra/lie/restricted/enveloping.txt · Последние изменения: 15.04.2014 23:06:49 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0