Содержание
Ограниченная алгебра Ли
Пусть — алгебра Ли над полем характеристики .
Ограниченная алгебра Ли
Определение 1. Отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие элемент называется p-отображением1), если
- для всех ;
- для всех и ;
- для всех , где элементы находятся из соотношения в кольце многочленов с коэффициентами в .
Замечание. Элементы представляют собой произведения элементов длины .
Определение 2. Пара , состоящая из алгебры Ли и p-отображения , называется ограниченной алгеброй Ли2).
Пример 1. Пусть — алгебра Ли ассоциативной алгебры. Тогда отображение — -кратное произведение — является p-отображением.
Пример 2. Для алгебры над полем алгебра Ли дифференцирований вместе с операцией возведения в степень :
для любого ,
является ограниченной алгеброй Ли.
Пример 3. Пусть — двумерная алгебра Ли с базисом , причем . Тогда единственное p-отображение на определяется формулой .
p-подалгебры и p-идеалы
Определение 3. Пусть — ограниченная алгебра Ли. Подалгебра называется p-подалгеброй3), если для всех .
Определение 4. Пусть — ограниченная алгебра Ли. Идеал называется p-идеалом4), если для всех .
Предложение 1. Пусть — ограниченная алгебра Ли и — p-идеал в . Тогда на факторалгебре корректно определено p-отображение:
.
Определение 5. Пусть — ограниченная алгебра Ли и — произвольное подмножество. Тогда множество
— p-подалгебра —
пересечение всех p-подалгебр, содержащих — называется p-подалгеброй, порожденной в .
Определение 6. Пусть — p-идеал ограниченной алгебры Ли . Тогда называется p-нильпотентным5), если для некоторого . 6)
Предложение 2. Пусть — p-идеал ограниченной алгебры Ли . Тогда — p-нильпотентна тогда и только тогда, когда факторалгебра7) и идеал p-нильпотентны.
Предложение 3. Пусть — конечномерная ограниченная алгебра Ли. Тогда существует единственный p-идеал , обладающий свойствами:
- — p-нильпотентный идеал;
- максимальный. То есть если p-идеал p-нильпотентен, то .
Определение 7. Идеал называется p-радикалом8) алгебры .
Пример 4. Пусть — двумерная алгебра Ли с базисом , где . Все идеалы : — являются p-идеалами. Идеал p-нильпотентен, и .
Гомоморфизмы
Определение 8. Пусть и — ограниченные алгебры Ли над полем . Гомоморфизм алгебр Ли называется ограниченным9), или p-гомоморфизмом10), если для всех .
Определение 9. Пусть — ограниченная алгебра Ли и — ее представление. Тогда называется ограниченным представлением11), если для всех .12)
p-полулинейное отображение
Определение 10. Отображение называется p-полулинейным13), если
- для всех ;
- для и .
Предложение 4. Пусть — ограниченная алгебра Ли, — подалгебра и — некоторое отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны
- — p-отображение на ;
- существует p-полулинейное отображение такое, что .
Пример 5. Пусть — абелева алгебра Ли. Тогда ограниченная в том и только том случае, когда на определено p-полулинейное отображение.
Ограничиваемые алгебры Ли
Определение 11. Алгебра Ли называется ограничиваемой14), если является p-подалгеброй в — алгебре дифференцирований алгебры , то есть для .
Теорема 1. (Джекобсон) Пусть — ограниченная алгебра Ли с базисом . Пусть, кроме того, существуют элементы такие, что . Тогда на существует единственное p-отображение , удовлетворяющее условию .
Замечание. Теорема Джекобсона позволяет дать эквивалентное определение ограничиваемой алгебры Ли как алгебры, на которой можно определить p-отображение.
Пример 6. Если — нильпотентная алгебра Ли размерность которой не превосходит , то она является ограничиваемой, так как .
Предложение 5. Пусть — сюръективный гомоморфизм алгебр Ли. Тогда если ограничиваемая, то также ограничиваемая.
Литература
- Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
- Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.