Ограниченная алгебра Ли

Ограниченная алгебра Ли

Определение 1. Отображение $[p]\colon L\rightarrow L$, которое каждому элементу $x\in L$ ставит в соответствие элемент $x^{[p]}$ называется p-отображением1), если

  1. $\textrm{ad}~x^{[p]}=(\textrm{ad}~x)^p$ для всех $x\in L$;
  2. $(\alpha x)^{[p]}=\alpha^px^{[p]}$ для всех $\alpha\in F$ и $x\in L$;
  3. $(x+y)^{[p]}=x^{[p]}+y^{[p]}+\sum_{i=1}^{p-1}s_i(x,y)$ для всех $x,y\in L$, где элементы $s_i(x,y)$ находятся из соотношения $(\textrm{ad}(x\otimes T+y\otimes 1))^{p-1}x\otimes 1=\sum_{i=1}^{p-1}is_i(x,y)\otimes T^{i-1}$ в кольце многочленов $L\otimes_FF[T]$ с коэффициентами в $L$.

Замечание. Элементы $s_i(x,y)$ представляют собой произведения элементов $x,y\in L$ длины $p$.

Определение 2. Пара $(L,[p])$, состоящая из алгебры Ли $L$ и p-отображения $[p]$, называется ограниченной алгеброй Ли2).

Пример 1. Пусть $A_L$алгебра Ли ассоциативной алгебры. Тогда отображение $x\mapsto x^p=x\cdot\ldots\cdot x$$p$-кратное произведение $x$ — является p-отображением.

Пример 2. Для алгебры $A$ над полем $F$ алгебра Ли дифференцирований $\textrm{Der}~A$ вместе с операцией возведения в степень $p$:

$D\mapsto D^p$ для любого $D\in\textrm{Der}~A$,

является ограниченной алгеброй Ли.

Пример 3. Пусть $L$ — двумерная алгебра Ли с базисом $\{h,x\}$, причем $[h,x]=x$. Тогда единственное p-отображение на $L$ определяется формулой $(\alpha h+\beta x)^{[p]}=\alpha^ph+\alpha^{p-1}\beta x$.

p-подалгебры и p-идеалы

Определение 3. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли. Подалгебра $H\subset L$ называется p-подалгеброй3), если $x^{[p]}\in H$ для всех $x\in H$.

Определение 4. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли. Идеал $I\subset L$ называется p-идеалом4), если $x^{[p]}\in I$ для всех $x\in I$.

Предложение 1. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $I$ — p-идеал в $L$. Тогда на факторалгебре $L/I$ корректно определено p-отображение:

$(x+I)^{[p]}=x^{[p]}+I$.

Определение 5. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $S\subset L$ — произвольное подмножество. Тогда множество

$S_p=\{H\vert H\supset S, H$ — p-подалгебра $\}$

пересечение всех p-подалгебр, содержащих $S$ — называется p-подалгеброй, порожденной $S$ в $L$.

Определение 6. Пусть $I$ — p-идеал ограниченной алгебры Ли $(L,[p])$. Тогда $I$ называется p-нильпотентным5), если $I^{[p]^n}=\{x^{[p]^n}\vert x\in I\}=0$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$. 6)

Предложение 2. Пусть $I$ — p-идеал ограниченной алгебры Ли $(L, [p])$. Тогда $L$ — p-нильпотентна тогда и только тогда, когда факторалгебра7) $L/I$ и идеал $I$ p-нильпотентны.

Предложение 3. Пусть $(L,[p])$ — конечномерная ограниченная алгебра Ли. Тогда существует единственный p-идеал $\textrm{rad}_p(L)$, обладающий свойствами:

  • $\textrm{rad}_p(L)$ — p-нильпотентный идеал;
  • $\textrm{rad}_p(L)$ максимальный. То есть если p-идеал $I\subset L$ p-нильпотентен, то $I\subset\textrm{rad}_p(L)$.

Определение 7. Идеал $\textrm{rad}_p(L)$ называется p-радикалом8) алгебры $L$.

Пример 4. Пусть $ L $ — двумерная алгебра Ли с базисом $\{h,x\}$, где $[h,x]=x$. Все идеалы $ L $: $L,I=\langle x\rangle_F,(0)$ — являются p-идеалами. Идеал $ I $ p-нильпотентен, и $\textrm{rad}_p(L)=I$.

Гомоморфизмы

Определение 8. Пусть $(L_1,[p]_1)$ и $(L_2,[p]_2)$ — ограниченные алгебры Ли над полем $ F $. Гомоморфизм алгебр Ли $\varphi:L_1\rightarrow L_2$ называется ограниченным9), или p-гомоморфизмом10), если $\varphi(x^{[p]_1})=\varphi(x)^{[p]_2}$ для всех $x\in L_1$.

Определение 9. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $\rho\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V)$ — ее представление. Тогда $\rho$ называется ограниченным представлением11), если $\rho(x^{[p]})=\rho(x)^p$ для всех $x\in L$.12)

p-полулинейное отображение

Определение 10. Отображение $\varphi:L\rightarrow L$ называется p-полулинейным13), если

  1. $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$ для всех $x,y\in L$;
  2. $\varphi(\alpha x)=\alpha^p\varphi(x)$ для $\alpha\in F$ и $x\in L$.

Предложение 4. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли, $H\subset L$ — подалгебра и $[p]_1\colon H\rightarrow H$ — некоторое отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны

  1. $[p]_1$ — p-отображение на $ H $;
  2. существует p-полулинейное отображение $\varphi:H\rightarrow C_L(H)$ такое, что $[p]_1=[p]+\varphi$.

Пример 5. Пусть $L$абелева алгебра Ли. Тогда $ L $ ограниченная в том и только том случае, когда на $ L $ определено p-полулинейное отображение.

Ограничиваемые алгебры Ли

Определение 11. Алгебра Ли $ L $ называется ограничиваемой14), если $\textrm{ad}L$ является p-подалгеброй в $\textrm{Der}L$алгебре дифференцирований алгебры $L$, то есть $(\textrm{ad}x)^p\in\textrm{ad}L$ для $x\in L$.

Теорема 1. (Джекобсон) Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли с базисом $\{e_i\}_{i\in I}$. Пусть, кроме того, существуют элементы $y_i\in L$ такие, что $(\textrm{ad}e_i)^p=\textrm{ad}y_i$. Тогда на $ L $ существует единственное p-отображение $[p]:L\rightarrow L$, удовлетворяющее условию $e_j^{[p]}=y_j$.

Замечание. Теорема Джекобсона позволяет дать эквивалентное определение ограничиваемой алгебры Ли как алгебры, на которой можно определить p-отображение.

Пример 6. Если $L$нильпотентная алгебра Ли размерность которой не превосходит $p+1$, то она является ограничиваемой, так как $(\textrm{ad}x)^p=0$.

Предложение 5. Пусть $\varphi\colon L_1\rightarrow L_2$ — сюръективный гомоморфизм алгебр Ли. Тогда если $L_1$ ограничиваемая, то $L_2$ также ограничиваемая.

Литература

  • Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
  • Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.
1) p-mapping
2) restricted Lie algebra
3) p-subalgebra
4) p-ideal
5) p-nilpotent
6) $x^{[p]^n}$ обозначает $n$-ю итерацию отображения $[p]$.
7) Она также ограниченная - см. Предложение 1.
8) p-radical
9) restricted homomorphism
10) p-homomorphism
11) restricted presentation
12) Вспомним, что полная линейная алгебра $\mathfrak{gl}(V)$ — ограниченная алгебра Ли с p-отображением «возведение в степень $p$» (см. Пример 1). Таким образом, $\rho$ — p-отображение в смысле определения 8.
13) p-semilinear
14) restrictable
glossary/algebra/lie/restricted.txt · Последние изменения: 15.04.2014 22:00:36 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0