Содержание

Алгебра Ли дифференцирований

Алгебра Ли дифференцирований

Дифференцирование

Определение 1. Пусть $A$ — алгебра над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$ . Дифференцированием¹⁾ алгебры $A$ называется $R$ -линейное отображение $\delta\colon A\rightarrow A$ , удовлетворяющее условию

$\delta(x\cdot y)=\delta(x)\cdot y+x\cdot\delta(y)$ для всех $x,y\in A$ .

Пример 1. Пусть $A=F[T]$ — кольцо многочленов над полем $F$ . Определим отображение $\frac{d}{dt}\colon F[T]\rightarrow F[T]$ своим действием на мономах:

$\frac{d}{dt}(T^n)=nT^{n-1}$ .

Нетрудно проверить, что $\frac{d}{dt}$ является дифференцированием.

Проверка.

Утверждение достаточно проверить на мономах:

$\frac{d}{dt}(T^nT^m)=\frac{d}{dt}(T^{n+m})=(n+m)T^{n+m-1}$ .

С другой стороны

$\frac{d}{dt}(T^nT^m)=T^n\frac{d}{dt}(T^m)+\frac{d}{dt}(T^n)T^m=mT^nT^{m-1}+nT^{n-1}T^m=(n+m)T^{n+m-1}$ ,

откуда и следует требуемое.

Пример 2. Пусть $L$ — алгебра Ли над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей $R$ . Тогда для каждого $x\in L$ определено отображение $\textrm{ad}x\colon L\rightarrow L$ по формуле $\textrm{ad}x(y)=[x,y]$ . Из тождества Якоби следует, что $\textrm{ad}x$ — дифференцирование.

Определение 2. Дифференцирование $\textrm{ad}x$ алгебры Ли $L$ , определенное в примере 2 для каждого $x\in L$ , называется внутренним дифференцированием²⁾ алгебры Ли $L$ .

Алгебра Ли дифференцирований

Определение 3. Множество всех дифференцирований алгебры $A$ является ассоциативной алгеброй³⁾. Алгебра Ли этой алгебры обозначается символом $\textrm{Der}A$ и называется алгеброй Ли дифференцирований⁴⁾.

Определение 4. Пусть $L$ — алгебра Ли, и $\textrm{Der}L$ — алгебра Ли ее дифференцирований. Подалгебра Ли этой алгебры, образованная всеми внутренними дифференцированиями алгебры Ли $L$ , называется алгеброй Ли внутренних дифференцирований⁵⁾ алгебры Ли $L$ :

$\textrm{ad}L=\{\textrm{ad}x|x\in L\}$ .

См. также

Литература

абстрактная алгебра, алгебра внутренних дифференцирований, алгебра ли дифференцирований, внутреннее дифференцирование, дифференцирование, кольцо с единицей

¹⁾

derivation

²⁾

inner derivation

³⁾

относительно операции композиции

⁴⁾

Lie algebra of derivations

⁵⁾

Lie algebra of inner derivations

glossary/algebra/lie/derivation.txt · Последние изменения: 21.08.2024 09:12:28 — Ладилова Анна

Наверх