Определение 1. Кольцом1) называется множество с двумя бинарными алгебраическими операциями сложением и умножением , связанными законами дистрибутивности. При этом — абелева группа, — группоид. Иными словами, операции кольца удовлетворяют следующим аксиомам:
Пример 1. Множество целых чисел с операциями сложения и умножения является кольцом.
Определение 2. Если кольцо удовлетворяет дополнительному условию
то кольцо называется коммутативным2).
Определение 3. Если кольцо удовлетворяет дополнительному условию
то кольцо называется ассоциативным3).
Пример 2. Примером кольца является неассоциативное и некоммутативное кольцо Ли.
Определение 4. Если ассоциативное кольцо удовлетворяет дополнительному условию
то кольцо называется ассоциативным кольцом с единицей4).
Пример 3. Множество всех матриц порядка с целочисленными коэффициентами является ассоциативным кольцом с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. Единичным элементом является единичная матрица. Это кольцо некоммутативно.
Пример 4. Пусть — произвольное множество и — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда на множестве отображений из в возникает структура ассоциативного коммутативного кольца с единицей, если положить
Мультипликативной единицей служит постоянное отображение , значение которого есть мультипликативная единица кольца , которое обычно обозначается как . Нулевым элементом служит постоянное отображение , значение которого есть нулевой элемент кольца .
Пример 5. Рассмотрим множество групповых гомоморфизмов аддитивной абелевой группы в себя. Определим операцию сложения в по правилу: для всех и . В качестве операции умножения возьмем композицию отображений. Тогда относительно введенных операций является ассоциативным кольцом с единицей. Роль единицы играет тождественное отображение .
Пример 6. Пусть — произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Тогда кольцо многочленов от одной переменной над кольцом также является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей.
Определение 5. Подмножество кольца называется подкольцом5), если замкнуто относительно всех операций кольца:
и для всех ,
то есть является подгруппой в , а является подгруппоидом . Если кольцо с единицей6), то также должно обладать этим свойством.
Определение 6. Пусть — двусторонний идеал кольца . Факторгруппа с индуцированным умножением является кольцом, которое называется факторкольцом7) .
Предложение 1. Операция умножения в факторгруппе определена корректно, то есть не зависит от выбора представителя в смежном классе.
Пример 7. Рассмотрим кольцо целых чисел . Множество всех целых чисел, кратных фиксированному целому числу будем обозначать через , . Это двусторонний идеал в . Факторкольцо состоит из элементов , где под понимается множество всех целых чисел, имеющих остаток при делении на . Часто обозначают через и называют кольцом классов вычетов8) по модулю .