Связное топологическое пространство

Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство.

Определение 1. Будем говорить, что $(X,\tau)$ связное¹⁾ топологическое пространство, если одновременно открытыми и замкнутыми в нем являются лишь $\varnothing$ и $X$ :

$(U\in\tau)\wedge(CU\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\vee(U=X)$ .

Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:

$(X,\tau)$ связное топологическое пространство
$X$ нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных открытых подмножеств:
$(X=U\cup V)\wedge(U\cap V=\varnothing)\wedge(U\in\tau)\wedge(V\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\wedge(V=X)\vee(U=X)\wedge(V=\varnothing)$
$X$ нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных замкнутых подмножеств:
$(X=U\cup V)\wedge(U\cap V=\varnothing)\wedge(CU\in\tau)\wedge(CV\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\wedge(V=X)\vee(U=X)\wedge(V=\varnothing)$

Пример 1. Пусть $X=\{a,b\}$ , $\tau_D=\{\varnothing,\{a\},\{b\},X\}$ — дискретная топология на $X$ и $\tau=\{\varnothing,\{a\},X\}$ — топология связного двоеточия. Тогда $(X,\tau_D)$ — не связное, а $(X,\tau)$ — связное.

Определение 2. Непустое подмножество $A\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ называется связным, если подпространство $(A,\tau_A)$ является связным топологическим пространством.

Предложение 2. Пусть $(X,\tau)$ и $(Y,\omega)$ — топологические пространства, а $f:X\rightarrow Y$ — непрерывное и сюръективное отображение. Тогда если $(X,\tau)$ связное топологическое пространство, то $(Y,\omega)$ также связное топологическое пространство.

Предложение 3. Замыкание $\overline{A}$ непустого связного подмножества $A\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ является связным подмножеством.

Предложение 4. Объединение $B=\underset{\alpha\in I}{\cup}A_\alpha$ связных подмножеств $A_\alpha\subset X$ топологического пространства $(X,\tau)$ , имеющих непустое пересечение $\underset{\alpha\in I}{\cap}A_\alpha\neq\varnothing$ является связным подмножеством.

Определение 3. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $a\in X$ — его точка. Обозначим через $K_a$ наибольшее связное подмножество в $X$ , содержащее $a$ и будем называть его компонентой связности точки $a$ ²⁾.