Индуцированная топология

проверено

Определение

Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, $A\subset X$ — непустое подмножество. Рассмотрим семейство подмножеств $\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}$ множества $A$ .

Предложение 1. Семейство подмножеств $\tau_A$ является топологией на $A$ .

Определение 1. Семейство подмножеств $\tau_A$ называется индуцированной топологией¹⁾ на $A$ , а топологическое пространство $(A,\tau_A)$ — подпространством²⁾ топологического пространства $(X,\tau)$ .

Пример 1. Пусть задано топологическое пространство $(\mathbb{R},\tau_U)$ . Индуцированной топологией на множестве $\mathbb{N}$ является дискретная топология.

Предложение 2. Пусть $(A,\tau_A)$ — подпространство топологического пространства $(X,\tau)$ . Пусть, кроме того, $G\subset A$ . Тогда $G$ замкнуто в $(A,\tau_A)$ , если и только если существует множество $F$ , замкнутое в $(X,\tau)$ , такое что $G=F\cap A$ .

Предложение 3. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $B\subset A\subset X$ . Тогда $\tau_B=(\tau_A)_B$ .

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

топология, индуцированная топология, подпространство, топологическое пространство

¹⁾

induced topology, subspace topology

²⁾

subspace

glossary/topology/induced.txt · Последние изменения: 09.01.2011 14:56:46 — Ладилова Анна

Наверх