Вычисление обратной матрицы

Напомним, что обратной для квадратной матрицы $A$ порядка $n$ называется такая матрица, обычно ее обозначают $A^{-1}$ , которая удовлетворяет условиям:

$A\cdot A^{-1}=E$ и $A^{-1}\cdot A=E$ .

Существует по крайней мере два «хороших»¹⁾ алгоритма нахождения обратной матрицы.

Метод алгебраических дополнений

Задача 1. Найти обратную матрицу для

$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}$ .

Решение. Матрица квадратная — по крайней мере в этом подвоха нет. Запомните, что для неквадратной матрицы обратную вычислить нельзя!!!

Шаг 1. Вычислить определитель. Вычисляем по формуле из примера 1.²⁾

$\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{vmatrix} = 1\cdot 5 - 2\cdot 2 = 1$ .

Определитель не равен нулю, поэтому обратная матрица существует. Переходим на следующий шаг.

Шаг 2. Вычислить алгебраические дополнения для каждого элемента.

Алгебраическое дополнение для левого верхнего элемента ( для 1 ). Он стоит в первой строке и первом столбце. Мысленно вычеркнем их. Останется 5. Поэтому алгебраическое дополнение

$A^{1}_{1}=(-1)^{1+1}\cdot 5=5$ .

Алгебраическое дополнение для 2 ( 1-я строка, 2-й столбец ):

$A^{1}_{2}=(-1)^{1+2}\cdot 2=-2$ .

Алгебраическое дополнение для 2 ( 2-я строка, 1-й столбец ):

$A^{2}_{1}=(-1)^{2+1}\cdot 2=-2$ .

Алгебраическое дополнение для 5 ( 2-я строка, 2-й столбец ):

$A^{2}_{2}=(-1)^{2+2}\cdot 1=1$ .

Шаг 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений.

$\widetilde{A}=\begin{pmatrix}A^{1}_{1} & A^{1}_{2}\\A^{2}_{1} & A^{2}_{2}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}$ .

Шаг 4. Транспонировать матрицу $\widetilde{A}$ из шага 3.

$A^*=\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}$ .

Совершенно случайно у нас получилось то же самое. Так бывает. Иногда.

Шаг 5. ( Последний! ) Умножить матрицу $A^*$ на число, обратное определителю. Определитель у нас был равен 1.

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot \begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}$ .

Это и есть обратная матрица.

Сделаем проверку. Если не помните, как умножать матрицы, загляните сначала сюда.

$\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot 1-2\cdot 2 & 5\cdot 2-2\cdot 5\\ -2\cdot 1+1\cdot 2 & -2\cdot 2+1\cdot 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ .

Получили единичную матрицу, значит, обратную матрицу $A^{-1}$ нашли правильно.

Вообще нужно делать проверку и для

$\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}$ .

Но мы этого делать не будем, потому что знаем из теории, что если $A^{-1}\cdot A=E$ выполнено, то и $A\cdot A^{-1}=E$ также будет выполнено. ( Проверьте! )