Определители

Определители 2-го порядка

Правило вычисления определителей 2-го порядка указано в примере 1.

Задача 1. Вычислить определитель $\begin{vmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\\sin\beta & \cos\beta\end{vmatrix}$.

Решение. $\begin{vmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\\sin\beta & \cos\beta\end{vmatrix}=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$.

Определители 3-го порядка

Правило вычисления определителей 3-го порядка указано в примере 2.

Задача 2. Вычислить определитель $\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}$.

Решение.

Способ 1. Вычислим определитель по «правилу треугольника». $\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=5\cdot1\cdot5+6\cdot0\cdot7+0\cdot3\cdot4-3\cdot1\cdot7-0\cdot6\cdot5-4\cdot0\cdot5=25-21=4$.

Способ 2. Используем теорему Лапласа. Разложим определитель по второй строке, так как там только один ненулевой элемент. $\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}5 & 3\\7 & 5\end{vmatrix}=5\cdot5-7\cdot3=4$.

Способ 3. Разложим определитель по первой строке: $\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=5\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & 0\\4 & 5\end{vmatrix}+6\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0 & 0\\7 & 5\end{vmatrix}+3\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0 & 1\\7 & 4\end{vmatrix}=5\cdot5-0+3\cdot(-7)=4$. Как видим, разложение по второй строке было более целесообразно.

Способ 4. Вычислим определитель с помощью элементарных преобразований, используя свойства определителя.

$\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\2 & -2 & 2\end{vmatrix}=$ (вычли из третьей строки первую)

$=\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\2 & -2 & 2\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=$ (вынесли 2 из третьей строки)

$=2\cdot\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 11 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=$ (вычли из первой строки третью, умноженную на 5)

$=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 11 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=$ (прибавили к первой строки вторую, умноженную на -11)

$=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=-2\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{vmatrix}=$ (поменяли местами первую и третью строки; при этом сменился знак)

$=-2\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot1\cdot(-2)=4$. (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили предложение 7.)

Определители высших порядков

Задача 3. Вычислить определитель

$\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}$.

Решение. Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум строкам. Перечислим все миноры порядка 2, построенные на 1-й и 2-й строках:

  1. на 1-м и 2-м столбцах: $\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}$. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+2.
  2. на 1-м и 3-м столбцах: $\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 3-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+3.
  3. на 1-м и 4-м столбцах: $\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 4-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}$. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+4.
  4. на 2-м и 3-м столбцах: $\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 3-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+3.
  5. на 2-м и 4-м столбцах: $\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 4-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+4.
  6. на 3-м и 4-м столбцах: $\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}$. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 3-го и 4-го столбца исходного определителя: $(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}$</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+3+4.

Согласно теореме Лапласа, нужно умножить каждый минор на его алгебраическое дополнение и просуммировать результат: $\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}$$=-2\cdot1\cdot2+2\cdot(-1)\cdot(-2)+0+$$1\cdot1\cdot4+1\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot9=2$.

Задача 4. Вычислить определитель

$\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}$.

Решение. С помощью перестановки строк приведем определитель к такому виду, чтобы ненулевые элементы стояли на главной диагонали. Последовательно меняя соседние строки, переместим первую строку вниз. При этом будет выполнена $n-1$ перестановка. Поэтому $\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}=$$(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\end{vmatrix}$ (см. предложение 2).

Таким же образом переместим верхнюю строчку полученного определителя на $n-1$-е место. При этом будет произведено $n-2$ операции, и определитель примет вид $(-1)^{n-1}\cdot(-1)^{n-2}\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\end{vmatrix}$.

Произведя такую процедуру $n-1$ раз, получим определитель $(-1)^{n-1+n-2+\ldots+1}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0& \ldots & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n\end{vmatrix}=$$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0& \ldots & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n\end{vmatrix}=$$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!$. (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили предложение 7.)

Задача 5. Вычислить определитель $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & n\\3 & 4 & 5 &\ldots & n & n & n\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n\\n-1 & n & n & \ldots & n & n & n\\n & n & n & \ldots & n & n & n\end{vmatrix}$.

Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу определителя к нижнетреугольному виду. А именно, вычтем из $ n $-й строки $n-1$-ю. Затем из $n-1$$n-2$-ю, и т.д., наконец, вычтем из второй строки первую. В результате таких преобразований, согласно предложению 6, определитель не изменится, поэтому

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & n\\3 & 4 & 5 &\ldots & n & n & n\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n\\n-1 & n & n & \ldots & n & n & n\\n & n & n & \ldots & n & n & n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}$.

Теперь, как в предыдущей задаче поменяем строки местами так, чтобы матрица определителя стала нижнетреугольной.

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\end{vmatrix}=$$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n$.

solved/algebra/linear/determinant.txt · Последние изменения: 06.01.2012 02:27:21 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0