Определитель матрицы

проверено

Определитель

Пусть $ A $квадратная матрица порядка $n$ с коэффициентами из кольца $R$, $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$.

Определение 1. Определителем1) $\textrm{det}~A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов $a_{ij}$, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,

$\textrm{det}A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\underset{\sigma\in S_n}{\sum}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ldots a_{n\sigma(n)}$,

где суммирование ведется по всем подстановкам порядка $n$, $\varepsilon(\sigma)$знак подстановки $\sigma$.

Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случай теоремы Лапласа).

Пример 1. Определитель матрицы порядка 2: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$ равен $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{13}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{32}a_{23}a_{11}$.

При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+» + произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-» -

Свойства определителя

Предложение 1. Определитель квадратной матрицы $A$ и определитель транспонированной к ней матрицы $A^t$ совпадают: $\textrm{det}A=\textrm{det}A^t$.

Предолжение 2. Если в определителе матрицы $A$ поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный.

Предложение 3. Справедливы следующие свойства:

  1. $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ \lambda a_{i1} & \lambda a_{i2} & \ldots & \lambda a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\lambda\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$,
  2. $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1}+a''_{i1} & a'_{i2}+a''_{i2} & \ldots & a'_{in}+a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a'_{i1} & a'_{i2} & \ldots & a'_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a''_{i1} & a''_{i2} & \ldots & a''_{in}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$.

Предложение 4. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Предложение 5. Если в квадратной матрице $A$ две строки совпадают, то $\textrm{det}A=0$.

Предложение 6. Определитель не меняется, если к некоторой его строке прибавить другую строку, умноженную на ненулевой скаляр.

Предложение 7. Пусть $A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$верхнетреугольная матрица порядка $n$, тогда $\textrm{det}A=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$.

Предложение 8. Пусть $A$ и $B$ квадратные матрицы порядка $n$. Тогда $\textrm{det}(AB)=\textrm{det}A\cdot\textrm{det}B$.

См. также

Литература

1) determinant
glossary/matrix/determinant.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:14:06 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0