Определитель матрицы
проверено
Определитель
Пусть — квадратная матрица порядка
с коэффициентами из кольца
,
.
Определение 1. Определителем1) матрицы
называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов
, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,
,
где суммирование ведется по всем подстановкам порядка ,
— знак подстановки
.
Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случай теоремы Лапласа).
Пример 1. Определитель матрицы порядка 2: равен
.
Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле
.
При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+»
произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-»
Свойства определителя
Предложение 1. Определитель квадратной матрицы и определитель транспонированной к ней матрицы
совпадают:
.
Предолжение 2. Если в определителе матрицы поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный.
Предложение 3. Справедливы следующие свойства:
,
.
Предложение 4. Определитель с нулевой строкой равен нулю.
Предложение 5. Если в квадратной матрице две строки совпадают, то
.
Предложение 6. Определитель не меняется, если к некоторой его строке прибавить другую строку, умноженную на ненулевой скаляр.
Предложение 7. Пусть — верхнетреугольная матрица порядка
, тогда
.
Предложение 8. Пусть и
квадратные матрицы порядка
. Тогда
.